Кубическое уравнение с комплексными коэффициентами

[nnosipov]

_Ivana, ну да, так тоже можно. Кажется, так школьникам и объясняют, чтобы хитрое слово "дискриминант" не употреблять.

[_3op9l]

Возник ещё один вопрос.

$(\alpha_3+i\beta_3)x^3+(\alpha_2+i\beta_2)x^2+(\alpha_1+i\beta_1)x+(\alpha_0+i\beta_0)=0$

$x^3+x^2(\alpha_2+i\beta_2)/(\alpha_3+i\beta_3)+x(\alpha_1+i\beta_1)/(\alpha_3+i\beta_3)+(\alpha_0+i\beta_0)/(\alpha_3+i\beta_3)=0$

Есть соотношения коэффициентов, возникающие из требования $\operatorname{Im}[(\alpha_k+i\beta_k)/(\alpha_3+i\beta_3)]=0, k=0,1,2$, для наличия действительных корней.

Правильно ли я понимаю, что если соотношения коэффициентов не могут быть выполнены, это равносильно несогласованности системы уравнений, которую можно
выписать из исходного ур-я, рассмотрев отдельно действ. часть - отдельно мнимую?

Строго говоря, получается нельзя записать и то исходное кубическое уравнение, так?

[Otta]

Опять за рыбу деньги. Что за система уравнений опять? Зачем отдельно смотреть мнимую часть и действительную? Это лишенное смысла действие.

Напишите, пожалуйста, как Вы поняли то, что было выше.

Как определить, все ли корни уравнения

$$(1+i)x^3+(2-i)x^2-1=0$$

действительны?

[Евгений Машеров]

$x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
Если все корни $x_i$ действительны, то действительны и a, b, c.

[_3op9l]

Otta,
я так поняла, что


В Вашем примере
после деления на старший коэффициент у нового уравнения коэффициент при $x^2$ остаётся комплексным,
значит, необходимое условие не выполнено, значит, есть комплексные корни, так?

[Otta]

Нет, не так. Еще раз, я Вас же процитирую:

_3op9l в сообщении #809838 писал(а):

То есть я правильно понимаю, что мне нужна действительность новых коэффициентов и
неотрицательность дискриминанта для нового уравнения?

Тогда корни уравнения будут вещественными.

или положительность дискриминанта, если я хочу различные действительные корни.

Ну и что это означает применительно к данному примеру? (Вы тему перечитывайте, что ли. Что мы по кругу ходим. )

[_3op9l]

Если в Вашем примере
1) поделить на старший коэфф
2) у новых коэфф взять $\operatorname{Re}$
3) сосчитать дискриминант

то окажется $D<0$, значит, 1 вещ корень, два комплексных. Правильно?

-- 09.01.2014, 15:33 --

А чем неправильно то, что на картинке?

[Otta]

_3op9l в сообщении #811899 писал(а):

после деления на старший коэффициент у нового уравнения коэффициент при $x^2$ остаётся комплексным,
значит, необходимое условие не выполнено, значит, есть комплексные корни, так?

Да, теперь так. Не исправляйте посты после того, как Вам ответили, иначе весь смысл последующих насмарку.

-- 09.01.2014, 17:39 --

_3op9l в сообщении #811918 писал(а):

Если в Вашем примере
1) поделить на старший коэфф
2) у новых коэфф взять $\operatorname{Re}$
3) сосчитать дискриминант

то окажется $D<0$, значит, 1 вещ корень, два комплексных. Правильно?

А как Вы будете дискриминант считать - для невещественных коэффициентов? Он может и мнимым оказаться. Вот это Ваше

Цитата:

2) у новых коэфф взять $\operatorname{Re}$

наделите хоть каким-то смыслом. Можете? Какое отношение корни и их существование получившегося уравнения имеют к корням и их существованию исходного? Почему Вы это делаете? Потому что умеете работать с тем, что получаете? А связь того, что Вы получаете с реальностью какова? С тем же успехом Вы могли вообще заменить все коэффициенты на то, что Вам нравится.

На картинке все правильно.

[_3op9l]

То есть, если я такое обнаруживаю, что у нового ур-я коэфф комплексные, то
{$ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,d\in\mathbb{C}$} и {все корни $x_*\in\mathbb{R}$} -- несовместны.

Если приэтом $x_*\in\mathbb{R}$ -- железно, то, значит, неверно $ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,d\in\mathbb{C}$. Похоже на правду?

-- 09.01.2014, 15:41 --

Otta в сообщении #811920 писал(а):

Вот это Ваше

Цитата:

2) у новых коэфф взять $\operatorname{Re}$

наделите хоть каким-то смыслом. Можете?

Могу только так:

_3op9l в сообщении #811585 писал(а):

Есть соотношения коэффициентов, возникающие из требования $\operatorname{Im}[(\alpha_k+i\beta_k)/(\alpha_3+i\beta_3)]=0, k=0,1,2$, для наличия действительных корней.

Правильно ли я понимаю, что если соотношения коэффициентов не могут быть выполнены, это равносильно несогласованности системы уравнений, которую можно
выписать из исходного ур-я, рассмотрев отдельно действ. часть - отдельно мнимую?

Строго говоря, получается нельзя записать и то исходное кубическое уравнение, так?

[Otta]

_3op9l в сообщении #811925 писал(а):

Если приэтом $x_*\in\mathbb{R}$ -- железно, то, значит, неверно $ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,d\in\mathbb{C}$.

Это что значит? Правильно ли я понимаю, что это значит, что исходное уравнение не может иметь вещественных корней?

[_3op9l]

Если у меня заведомо все корни действительные, а уравнение принципиально имеет комплексные корни, то, значит, уравнение не описывает величину, обозначенную $x$-ом. Я так понимаю

[Otta]

_3op9l в сообщении #811925 писал(а):

Возник ещё один вопрос.


Есть соотношения коэффициентов, возникающие из требования $\operatorname{Im}[(\alpha_k+i\beta_k)/(\alpha_3+i\beta_3)]=0, k=0,1,2$, для наличия действительных корней.

Правильно ли я понимаю, что если соотношения коэффициентов не могут быть выполнены, это равносильно несогласованности системы уравнений, которую можно
выписать из исходного ур-я, рассмотрев отдельно действ. часть - отдельно мнимую?

Строго говоря, получается нельзя записать и то исходное кубическое уравнение, так?

Вы понимаете, это такой бред, что даже больно обсуждать.
Давайте начнем с конца. Что значит нельзя записать кубическое уравнение? У Вас руки связаны? Кто мешает записать произвольное кубическое уравнение и даже с такими корнями, какие нужны?

[Nemiroff]

_3op9l в сообщении #811930 писал(а):

Если у меня заведомо все корни действительные, а уравнение принципиально имеет комплексные корни, то, значит, уравнение не описывает величину, обозначенную $x$-ом.

Это похоже на фразу на русском языке.

[B@R5uk]

_3op9l, опишите в начатой вами теме ту задачу, из которой выросло это кубическое уравнение.

[Otta]

_3op9l в сообщении #811930 писал(а):

Если у меня заведомо все корни действительные, а уравнение принципиально имеет комплексные корни, то, значит, уравнение не описывает величину, обозначенную $x$-ом. Я так понимаю

А я это не понимаю вообще. Нет таких слов в русском языке "уравнение не описывает величину, обозначенную $x$-ом". Есть слова "$x$ является корнем уравнения". Это те слова, что Вы хотели сказать?