Кубическое уравнение с комплексными коэффициентами

[nnosipov]

_3op9l, точно сформулируйте проблему, которую Вы пытаетесь решить. Что дано, что хочется получить.

[Cash]

Для отысканния третьего корня можно попробовать воспользоваться теоремой Виета.

[_3op9l]

Нет, все корни действительные.

Я всё время сбиваюсь, вы извините, пожалуйста, меня.
$f(x)$ -- комплекснозначная функция действительного переменного. Полином третьей степени.
Надо решить уравнение $f(x)=0$

Спасибо за соображение о том, чтобы поделить на старший коэффициент.

[nnosipov]

_3op9l в сообщении #809821 писал(а):

$f(x)$ -- комплекснозначная функция действительного переменного. Полином третьей степени.
Надо решить уравнение $f(x)=0$

Формула Кардано чем не нравится?

[_3op9l]

nnosipov в сообщении #809811 писал(а):

Разделите уравнение на старший коэффициент. Все корни могут быть вещественными только при условии вещественности коэффициентов нового уравнения.

где можно посмотреть обоснование этого?

-- 05.01.2014, 18:14 --

nnosipov в сообщении #809823 писал(а):

Формула Кардано чем не нравится?

У меня коэффициенты, считай, не заданы. То есть заданы неточно. Нужно условие на них

[iifat]

Категорически отказываюсь понимать. Полином третьей степени с тремя действительными корнями таки обязан иметь действительные коэффициенты. После деления на старший, естественно. Это, разумеется, не достаточное условие, только необходимое. Присоединяюсь:

nnosipov в сообщении #809818 писал(а):

_3op9l, точно сформулируйте проблему, которую Вы пытаетесь решить. Что дано, что хочется получить

-- 06.01.2014, 02:16 --

Ах да, обоснование. Попробуйте написать многочлен третьей степени с корнями $1, 2, 3$. На всякий случай: теорема Виета тут уже упоминалась. Хотя вполне можно и без неё.

[_3op9l]

Я совсем далеко от математики. Может, я нетак термины использую.

$ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,d\in\mathbb{C}$

Вопрос: какое условие нужно наложить на $a,b,c,d$, чтобы все корни $x_*\in\mathbb{R}$

[Otta]

_3op9l в сообщении #809831 писал(а):

Я совсем далеко от математики.

Простите, а где Вы? это не то, чтобы совсем праздное любопытство, просто для того, чтобы говорить на Вашем языке.

[_3op9l]

Я уже и так краснею (

Я постараюсь писать понятней -- только напишите, где плохо сказано.

Как всё-таки обосновать, что если у уравнения с поделенными на старший коэффициент новыми
коэффициентами все коэффициенты действительные, то это строго означает действительность
корней?

[Otta]

_3op9l в сообщении #809833 писал(а):

Как всё-таки обосновать, что если у уравнения с поделенными на старший коэфиициент новыми
коэффициентами, все коэффициенты оказались действительными, то это строго дает действительность
корней.

Никак. Это необходимое условие, Вам подчеркнули это. То есть чтобы корни были вещественны, необходимо, чтобы коэффициенты были вещественны. Но из вещественности коэффициентов вещественность всех корней еще не следует. Зато теперь Вы имеете уравнение с вещественными коэффициентами, а с ними Вы умеете работать. При каком дополнительном условии Вы получите что хотите?

[_3op9l]

То есть я правильно понимаю, что мне нужна действительность новых коэффициентов и
неотрицательность дискриминанта для нового уравнения?

Тогда корни уравнения будут вещественными.

или положительность дискриминанта, если я хочу различные действительные корни. Так?

[Otta]

Да, верно.

[Vince Diesel]

_3op9l в сообщении #809831 писал(а):

$ax^3+bx^2+cx+d=0, a,b,c,d\in\mathbb{C}$

Вопрос: какое условие нужно наложить на $a,b,c,d$, чтобы все корни $x_*\in\mathbb{R}$

Условия есть тут.

[_3op9l]

Otta, nnosipov и всем-всем большое спасибо ))

[_Ivana]

Для тех, кто пока, как и я, не знаком с Тартальей и Кардано, можно применить следующую кустарщину: проверяем необходимое условие - приводим к уравнению с действительными коэффициентами, считаем два аргумента экстремумов - нули производной (квадратного уравнения с действительными коэффициентами) должны быть действительны, и последняя проверка - значение исходной функции в этих аргументах экстремума должны быть разных знаков (действительными они окажутся как полином с действительными коэффициентами от действительного аргумента).