Квантовая механика. Эрмитовость оператора.

[rainer048]

Здравствуйте! Помогите доказать эрмитовость оператора кинетической энергии. Эрмитов оператор должен удовлетворять условию $\int_{R^N}\Psi_1^*(\hat{A}\Psi_2)dV=\int_{R^N}\Psi_2(\hat{A}\Psi_1)^*dV$, для любых $\Psi_1, \Psi_2$. Берем N=1, подставляем оператор кинетической энергии, получаем:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_1^*(\hat{T}\Psi_2)dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_1^*(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi_2)dx=...$$

А вот дальше что делать с этим интегралом не понимаю...

[Munin]

По частям?

[rainer048]

Вот так правильно?

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^*(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi_2}{\partial x^2})dx= -\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^*\frac{\partial^2 \Psi_2}{\partial x^2}dx=...$$

$$dv=\frac{\partial ^2 \Psi_2}{\partial x^2} \qquad\qquad u=\Psi_1^*\$$

$$v=\frac{\partial \Psi_2}{\partial x} \qquad\qquad du=\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x} dx$$

$$...=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial \Psi_2}{\partial x}\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}dx\right]=...$$

Но в силу того, что пси функции выбраны так, чтобы в +- бесконечности они обращались в 0, зануляем вот это: $\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}$

$$dv=\frac{\partial \Psi_2}{\partial x}dx \qquad\qquad u=\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}$$

$$v=\Psi_2 \qquad\qquad du=\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx$$

И снова получаем сумму с одним зануляющимся членом:

$$...=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\Psi_2 \frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx\right]=-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2})dx $$

Так? Этого достаточно?

[exitone]

Если эрмитовы операторы $A$ и $B$ коммутируют, то $AB$ - эрмитов. Попробуйте это сами доказать.
Так вот, оператор кинетической энергии с точностью до константы это $pp$, где $p$ оператор импульса.

[rainer048]

exitone
Но для такого метода нужно знать, что оператор импульса эрмитов. А если вот так "в лоб" через интегралы?

[Dan B-Yallay]

rainer048 в сообщении #810865 писал(а):

Так? Этого достаточно?

Как человек не рубящий в кв. мехе ни разу, могу лишь сказать, что вроде получили то, что хотели.
Надо только уточнить насчет

rainer048 в сообщении #810865 писал(а):

Но в силу того, что пси функции выбраны так, чтобы в +- бесконечности они обращались в 0, зануляем вот это: $\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}$

Пси функции умноженные на их производные тоже должны зануляться.

[exitone]

rainer048 в сообщении #810875 писал(а):

exitone
Но для такого метода нужно знать, что оператор импульса эрмитов. А если вот так "в лоб" через интегралы?

Ну так, чтобы доказать эрмитовость оператора импульса нужно всего один раз по частям (8

[rainer048]

exitone
А, ну если только упростить процесс взятия интеграла:) Но, если верить, что интеграл я взял правильно, то результат-то тоже правильный, это ведь доказывает эрмитовость оператора?

[exitone]

Это Вы не меня должны спрашивать. У Вас есть определение, есть цепочка рассуждений. Сами ответьте на свой вопрос.