2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение06.01.2014, 23:50 


06/01/14
4
Здравствуйте! Помогите доказать эрмитовость оператора кинетической энергии. Эрмитов оператор должен удовлетворять условию $\int_{R^N}\Psi_1^*(\hat{A}\Psi_2)dV=\int_{R^N}\Psi_2(\hat{A}\Psi_1)^*dV$, для любых $\Psi_1, \Psi_2$. Берем N=1, подставляем оператор кинетической энергии, получаем: $$\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_1^*(\hat{T}\Psi_2)dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_1^*(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi_2)dx=...$$
А вот дальше что делать с этим интегралом не понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
По частям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 19:43 


06/01/14
4
Вот так правильно?
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^*(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi_2}{\partial x^2})dx= -\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi_1^*\frac{\partial^2 \Psi_2}{\partial x^2}dx=...$$$$dv=\frac{\partial ^2 \Psi_2}{\partial x^2} \qquad\qquad u=\Psi_1^*\$$$$v=\frac{\partial \Psi_2}{\partial x} \qquad\qquad du=\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x} dx$$
$$...=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial \Psi_2}{\partial x}\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}dx\right]=...$$

Но в силу того, что пси функции выбраны так, чтобы в +- бесконечности они обращались в 0, зануляем вот это: $\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}$

$$dv=\frac{\partial \Psi_2}{\partial x}dx \qquad\qquad u=\frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}$$$$v=\Psi_2 \qquad\qquad du=\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx$$

И снова получаем сумму с одним зануляющимся членом:
$$...=-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\Psi_2 \frac{\partial \Psi_1^*}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx\right]=-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_2(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi_1^*}{\partial x^2})dx $$

Так? Этого достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 19:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


29/01/13

217
Если эрмитовы операторы $A$ и $B$ коммутируют, то $AB$ - эрмитов. Попробуйте это сами доказать.
Так вот, оператор кинетической энергии с точностью до константы это $pp$, где $p$ оператор импульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 19:55 


06/01/14
4
exitone
Но для такого метода нужно знать, что оператор импульса эрмитов. А если вот так "в лоб" через интегралы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
rainer048 в сообщении #810865 писал(а):
Так? Этого достаточно?
Как человек не рубящий в кв. мехе ни разу, могу лишь сказать, что вроде получили то, что хотели.
Надо только уточнить насчет
rainer048 в сообщении #810865 писал(а):
Но в силу того, что пси функции выбраны так, чтобы в +- бесконечности они обращались в 0, зануляем вот это: $\Psi_1^* \frac{\partial \Psi_2}{\partial x}|_{-\infty}^{+\infty}$
Пси функции умноженные на их производные тоже должны зануляться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 20:04 
Заблокирован
Аватара пользователя


29/01/13

217
rainer048 в сообщении #810875 писал(а):
exitone
Но для такого метода нужно знать, что оператор импульса эрмитов. А если вот так "в лоб" через интегралы?


Ну так, чтобы доказать эрмитовость оператора импульса нужно всего один раз по частям (8

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 20:08 


06/01/14
4
exitone
А, ну если только упростить процесс взятия интеграла:) Но, если верить, что интеграл я взял правильно, то результат-то тоже правильный, это ведь доказывает эрмитовость оператора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика. Эрмитовость оператора.
Сообщение07.01.2014, 20:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


29/01/13

217
Это Вы не меня должны спрашивать. У Вас есть определение, есть цепочка рассуждений. Сами ответьте на свой вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group