2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 18:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не надо никак писать в точках разрыва.
Пишут $$f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} \cdot \sin(2 n x)$$
А вот если уже просят найти значение суммы ряда, то находят. ($f$ имеется в виду Ваша на отрезке.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 18:56 


29/08/11
1759
Возможно, вот так:

$$S(x) = \left\{\begin{matrix}
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} \cdot \sin(2 n x), x\neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}
\\0, x= \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right$$
?

-- 07.01.2014, 19:57 --

Otta
А если требуют построить графики функции и суммы ее ряда Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 18:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Limit79
Вы понимаете, что этот ряд суммируется во всех точках, а не только в $\frac\pi 2+\pi n$? Зачем же их выделять отдельно, с одной стороны? с другой, суммировать все остальное тоже будет нелепо, догадайтесь почему.

А если требуют построить графики - их просто строят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:02 


29/08/11
1759
Otta в сообщении #810820 писал(а):
Вы понимаете, что этот ряд суммируется во всех точках, а не только в $\frac\pi 2+\pi n$? Зачем же их выделять отдельно, с одной стороны?

И правда.

Otta в сообщении #810820 писал(а):
с другой, суммировать все остальное тоже будет нелепо, догадайтесь почему.

В этих точках $S(x)$ будет равна нулю (из-за синуса).

-- 07.01.2014, 20:03 --

А как же тогда записать сумму? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Limit79 в сообщении #810823 писал(а):
В этих точках $S(x)$ будет равна нулю (из-за синуса).

Здрасьти. Приехали. Перечитайте теорию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:05 


29/08/11
1759
Otta
Полусумме значений функции слева и справа? Просто я несколько запутался :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Да Вы не гадайте, просто полностью процитируйте теорему. Их несколько, кто знает, чем Вы собрались пользоваться.

(Оффтоп)

Вот в Вашем последнем оффе на предыдущей странице очень хорошо написано все, что из Вас так долго выколачивали. И недостающие строки замечательно видны. И опечатки тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:14 


29/08/11
1759
Otta
Наверное, вот эта теорема, только для $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$:

(Оффтоп)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:16 


29/08/11
1759
То есть, для всех точек, за исключением $x= \frac{\pi}{2} + \pi n$ сумма ряда равна $f(x)$, а в точках $x= \frac{\pi}{2} + \pi n$ сумма равна $\frac{1-1}{2} = 0$

-- 07.01.2014, 20:17 --

Но вот как записать общее выражения для $S(x)$?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Нет. Читайте теорему внимательно. Там написано "сходится во всех точках отрезка и его сумма....".
В точках отрезка, понимаете? А вне точек отрезка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:22 


29/08/11
1759
Otta
Полученный ряд Фурье сходится к периодическому продолжению исходной функции при всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $S(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{1-1}{2} = 0, n \in \mathbb{Z}$

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вот да, а вне точек отрезка пользуются периодичностью суммы ряда. Поскольку очень хорошо видно, какой у нее период.

Да. Так вот,
Limit79 в сообщении #810836 писал(а):
Но вот как записать общее выражения для $S(x)$?...

если сильно извратиться, то можно написать. Но ведь с Вас не просят, зачем извращаться? Рисуйте, что там будет на отрезке и продолжайте с нужным периодом, вот и всех делов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:28 


29/08/11
1759
Otta
В принципе да, логично :)

Спасибо Вам за помощь!

(Оффтоп)

и с праздником! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фурье [просто]
Сообщение07.01.2014, 19:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀

(Оффтоп)

Вас тоже. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group