Ряды Фурье [просто]

[Otta]

Не надо никак писать в точках разрыва.
Пишут

$$f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} \cdot \sin(2 n x)$$

А вот если уже просят найти значение суммы ряда, то находят. ($f$ имеется в виду Ваша на отрезке.)

[Limit79]

Возможно, вот так:

$$S(x) = \left\{\begin{matrix} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} \cdot \sin(2 n x), x\neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \\0, x= \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right$$

?

-- 07.01.2014, 19:57 --

Otta
А если требуют построить графики функции и суммы ее ряда Фурье?

[Otta]

Limit79
Вы понимаете, что этот ряд суммируется во всех точках, а не только в $\frac\pi 2+\pi n$? Зачем же их выделять отдельно, с одной стороны? с другой, суммировать все остальное тоже будет нелепо, догадайтесь почему.

А если требуют построить графики - их просто строят.

[Limit79]

Otta в сообщении #810820 писал(а):

Вы понимаете, что этот ряд суммируется во всех точках, а не только в $\frac\pi 2+\pi n$? Зачем же их выделять отдельно, с одной стороны?

И правда.

Otta в сообщении #810820 писал(а):

с другой, суммировать все остальное тоже будет нелепо, догадайтесь почему.

В этих точках $S(x)$ будет равна нулю (из-за синуса).

-- 07.01.2014, 20:03 --

А как же тогда записать сумму?

[Otta]

Limit79 в сообщении #810823 писал(а):

В этих точках $S(x)$ будет равна нулю (из-за синуса).

Здрасьти. Приехали. Перечитайте теорию.

[Limit79]

Otta
Полусумме значений функции слева и справа? Просто я несколько запутался

[Otta]

Да Вы не гадайте, просто полностью процитируйте теорему. Их несколько, кто знает, чем Вы собрались пользоваться.

(Оффтоп)

Вот в Вашем последнем оффе на предыдущей странице очень хорошо написано все, что из Вас так долго выколачивали. И недостающие строки замечательно видны. И опечатки тоже.

[Limit79]

Otta
Наверное, вот эта теорема, только для $\left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$:

(Оффтоп)

[Otta]

Годится.

[Limit79]

То есть, для всех точек, за исключением $x= \frac{\pi}{2} + \pi n$ сумма ряда равна $f(x)$, а в точках $x= \frac{\pi}{2} + \pi n$ сумма равна $\frac{1-1}{2} = 0$

-- 07.01.2014, 20:17 --

Но вот как записать общее выражения для $S(x)$?...

[Otta]

Нет. Читайте теорему внимательно. Там написано "сходится во всех точках отрезка и его сумма....".
В точках отрезка, понимаете? А вне точек отрезка?

[Limit79]

Otta
Полученный ряд Фурье сходится к периодическому продолжению исходной функции при всех $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $S(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{1-1}{2} = 0, n \in \mathbb{Z}$

[Otta]

Вот да, а вне точек отрезка пользуются периодичностью суммы ряда. Поскольку очень хорошо видно, какой у нее период.

Да. Так вот,

Limit79 в сообщении #810836 писал(а):

Но вот как записать общее выражения для $S(x)$?...

если сильно извратиться, то можно написать. Но ведь с Вас не просят, зачем извращаться? Рисуйте, что там будет на отрезке и продолжайте с нужным периодом, вот и всех делов.

[Limit79]

Otta
В принципе да, логично :)

Спасибо Вам за помощь!

(Оффтоп)

и с праздником!

[Otta]

(Оффтоп)

Вас тоже.