Решение модифицированного уравнения Лапласа

[VladTK]

Поздравляю всех с наступившим Новым Годом!

Возникла необходимость найти решения модифицированного уравнения Лапласа для функции $u$ от трех пространственных переменных

$$ \operatorname{div} \left \{ \left( \left( \operatorname{grad} u \right)^2 \right)^{n} \operatorname{grad} u \right \}=0 $$

где $n$ некоторая заданная степень ($-1/2<n<1/2$). Требуется найти решение этого уравнения, имеющее определенное количество сингулярных точек - одну, две и т.д. Решение, имеющее одну сингулярную точку (с радиус-вектором $\vec{r}_1$), мне известно. Оно имеет вид

$$ u(\vec{r}, \vec{r}_1)=\frac{1}{(|\vec{r}-\vec{r}_1|)^{(1-2n)/(1+2n)}} $$

Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается Может кто-то подскажет метод решения или возможно кто-то из математиков уже разбирал подобное уравнение в прошлом. Был бы очень благодарен за помощь.

[Vince Diesel]

Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?

[svv]

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #810050 писал(а):

Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается

Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные.
(Почему же они не едят пирожные? (C) Мария-Антуанетта)

[VladTK]

Vince Diesel в сообщении #810116 писал(а):

Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?

То что нужно. Огромное спасибо. Что касается оснований явного вида многоособенных решений, то надежда умирает последней. "Будем искать."

(Оффтоп)

svv в сообщении #810142 писал(а):

Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные.

Я ж не против. Но нелинеен наш мир, ох нелинеен...

[VladTK]

Как и писал ув. Vince Diesel, несмотря на массу доказательств существования решений разнообразных краевых задач, явного решения интересующей меня задачи не нашлось.

Единственное, что пока удалось подобрать, таково.

а) "Ньютоновский" случай $n=0$. Решение общеизвестно

$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{-1} $$

б) "Осцилляторный" случай $n=-3/2$. Решение

$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{2} $$