2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 07:42 
Поздравляю всех с наступившим Новым Годом!

Возникла необходимость найти решения модифицированного уравнения Лапласа для функции $u$ от трех пространственных переменных
$$ \operatorname{div} \left \{ \left( \left( \operatorname{grad} u \right)^2 \right)^{n} \operatorname{grad} u \right \}=0  $$
где $n$ некоторая заданная степень ($-1/2<n<1/2$). Требуется найти решение этого уравнения, имеющее определенное количество сингулярных точек - одну, две и т.д. Решение, имеющее одну сингулярную точку (с радиус-вектором $\vec{r}_1$), мне известно. Оно имеет вид
$$ u(\vec{r}, \vec{r}_1)=\frac{1}{(|\vec{r}-\vec{r}_1|)^{(1-2n)/(1+2n)}} $$
Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается :-( Может кто-то подскажет метод решения или возможно кто-то из математиков уже разбирал подобное уравнение в прошлом. Был бы очень благодарен за помощь.

 
 
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 13:38 
Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?

 
 
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 15:19 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #810050 писал(а):
Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается :-(
Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные. :-)
(Почему же они не едят пирожные? (C) Мария-Антуанетта)

 
 
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 17:15 
Vince Diesel в сообщении #810116 писал(а):
Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?


То что нужно. Огромное спасибо. Что касается оснований явного вида многоособенных решений, то надежда умирает последней. "Будем искать."

(Оффтоп)

svv в сообщении #810142 писал(а):
Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные. :-)


Я ж не против. Но нелинеен наш мир, ох нелинеен...

 
 
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение21.01.2014, 11:26 
Как и писал ув. Vince Diesel, несмотря на массу доказательств существования решений разнообразных краевых задач, явного решения интересующей меня задачи не нашлось.

Единственное, что пока удалось подобрать, таково.

а) "Ньютоновский" случай $n=0$. Решение общеизвестно
$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{-1} $$

б) "Осцилляторный" случай $n=-3/2$. Решение
$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{2} $$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group