2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 07:42 


16/03/07
815
Поздравляю всех с наступившим Новым Годом!

Возникла необходимость найти решения модифицированного уравнения Лапласа для функции $u$ от трех пространственных переменных
$$ \operatorname{div} \left \{ \left( \left( \operatorname{grad} u \right)^2 \right)^{n} \operatorname{grad} u \right \}=0  $$
где $n$ некоторая заданная степень ($-1/2<n<1/2$). Требуется найти решение этого уравнения, имеющее определенное количество сингулярных точек - одну, две и т.д. Решение, имеющее одну сингулярную точку (с радиус-вектором $\vec{r}_1$), мне известно. Оно имеет вид
$$ u(\vec{r}, \vec{r}_1)=\frac{1}{(|\vec{r}-\vec{r}_1|)^{(1-2n)/(1+2n)}} $$
Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается :-( Может кто-то подскажет метод решения или возможно кто-то из математиков уже разбирал подобное уравнение в прошлом. Был бы очень благодарен за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 13:38 
Заслуженный участник


25/02/11
1670
Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 15:19 
Заслуженный участник


23/07/08
8081
Харьков

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #810050 писал(а):
Но уже решения с двумя сингулярными точками $ u(\vec{r}, \vec{r}_1, \vec{r}_2)$ мне найти не удается :-(
Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные. :-)
(Почему же они не едят пирожные? (C) Мария-Антуанетта)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение06.01.2014, 17:15 


16/03/07
815
Vince Diesel в сообщении #810116 писал(а):
Это называется $p$-Лапласа уравнение, а решения — $p$-гармонические функции. В поиске на английском ссылок больше. Существование нужных решений мб где-то уже доказано (в каких-то областях с какими-то граничными условиями). Но есть ли какие-то основания полагать, что решения со многими особенностями можно выписать явно?


То что нужно. Огромное спасибо. Что касается оснований явного вида многоособенных решений, то надежда умирает последней. "Будем искать."

(Оффтоп)

svv в сообщении #810142 писал(а):
Господи, зачем же Вы решаете нелинейные уравнения? Решайте линейные. :-)


Я ж не против. Но нелинеен наш мир, ох нелинеен...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение модифицированного уравнения Лапласа
Сообщение21.01.2014, 11:26 


16/03/07
815
Как и писал ув. Vince Diesel, несмотря на массу доказательств существования решений разнообразных краевых задач, явного решения интересующей меня задачи не нашлось.

Единственное, что пока удалось подобрать, таково.

а) "Ньютоновский" случай $n=0$. Решение общеизвестно
$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{-1} $$

б) "Осцилляторный" случай $n=-3/2$. Решение
$$ u(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} |\vec{r}-\vec{r}_i|^{2} $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group