Время движения света в опыте Майкельсона

[WebSter]

Здравствуйте! Недавно столкнулся с опытом Майкельсона и Морли с интерферометром. Преподаватель на лекции частично расписал его для того, чтобы ввести в дело постоянство скорости света (про эфир он ничего не говорил, но эфир меня и не интересует). Вот схема:


(я думаю, не нужно объяснять, что тут к чему)

Здесь есть вектор скорости $\vec{u}$, направленный вправо, - это скорость движения Земли, которая по законам классической механики должна изменить скорость света в системе отсчета неподвижного наблюдателя.
Далее рассматривалось движение света по горизонтальному пути $M_1M_3M_1$ и по вертикальному пути $M_1M_2M_1$. Выражения для времени представляли собой

$$t_{\parallel}=\frac{2l_{1}c}{c^2-u^2}\quad \text{и}\quad t_{\perp}=\frac{2l_{2}}{\sqrt{c^2-u^2}}$$

соответственно. Вот здесь и возникли непонятки. С первым временем всё ясно - это сумма времен при движении света вдоль и противоположно скорости Земли. А вот второе для меня оказалось совершенно неясно. Если $l_2$ - это длина диагонали, которая получается, если смотреть на путь света от $M_1$ до $M_2$ с точки зрения неподвижного наблюдателя, то почему в знаменателе стоит минус, а не плюс? Ведь при движении вверх с точки зрения того же наблюдателя мы вроде должны сложить векторы $\vec{c}$ и $\vec{u}$, и по теореме Пифагора получить для модуля скорости корень из суммы квадратов, а не из разности.

В поисках правды я покопался в интернете и в разных учебниках, но везде формула для $t_{\perp}$ была именно такой (или с вынесенной из-под корня $c^2$) и давалась без вывода. Тогда я решил отвязаться от Майкельсона, интерферометра и света вообще, и рассмотреть аналогичную задачу.

Пусть у нас есть тележка, которая едет вправо с постоянной скоростью $\vec{u}$. На тележке ящик, на дне которого шарик (на который почти не действует сила тяжести), начинающий движение вертикально вверх с начальной скоростью $\vec{v'}$, которая и впоследствии остается постоянной. Высота ящика равна $L$.



В системе отсчета тележки время движения шарика до "потолка", очевидно, $t=\frac{L}{v'}$. Перейдем в неподвижную систему отсчета, используя преобразования Галилея:

$$\vec{v'}=\vec{v}-\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=\vec{v'}+\vec{u}$$

$$\vec{r'}=\vec{r}-\vec{r_0}\text{, где }\vec{r_0}=\vec{u}t \quad \Rightarrow \quad \vec{r}=\vec{r'}+\vec{u}t$$

Еще раз найдем время движения шарика до "потолка":

$$t=\frac{|\vec{r}|}{|\vec{v}|}=\frac{\sqrt{L^2+u^2t^2}}{\sqrt{v'^2+u^2}}$$

$$t=\frac{L}{v'}$$

Получили то же самое - значит, преобразования были выполнены верно. Теперь выразим $L$ через диагональ $L'$ из рисунка выше:

$$L=\sqrt{L'^2-u^2t^2}$$

и подставим в формулу для $t$:

$$t=\frac{\sqrt{L'^2-u^2t^2}}{v'}$$

$$t^2=\frac{L'^2}{v'^2}-\frac{u^2t^2}{v'^2}$$

$$t^2\left(1+\frac{u^2}{v'^2}\right)=\frac{L'^2}{v'^2}$$

$$t=\frac{L'}{v'}\left(1+\frac{u^2}{v'^2}\right)^{-\frac12}=\frac{L'}{\sqrt{v'^2+u^2}}$$

Если заменить теперь $L'$ на $l_2$, а $v'$ на $c$ и умножить на 2 (я для простоты брал только одну диагональ) то получим то же самое, что было в опыте Майкельсона, но со знаком "+"!

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так? Откуда берется минус?

[Munin]

WebSter в сообщении #809773 писал(а):

про эфир он ничего не говорил, но эфир меня и не интересует

Это хорошо. Есть надежда, что сюда не сбегутся эфиро-озабоченные.

WebSter в сообщении #809773 писал(а):

Ведь при движении вверх с точки зрения того же наблюдателя мы вроде должны сложить векторы $\vec{c}$ и $\vec{u}$, и по теореме Пифагора получить для модуля скорости корень из суммы квадратов, а не из разности.

С точки зрения неподвижного наблюдателя - скорость света $c.$ Она направлена вдоль гипотенузы, но имеет не больший модуль, а такой же. Отсюда, вычисляем не гипотенузу по катетам, а катет (вертикальный) по гипотенузе. Отсюда и минус.

Почему именно скорость света для неподвижного наблюдателя всегда $c$ - отдельный вопрос. Это устанавливается другими опытами. Пока просто допустите, что это так.

(Оффтоп)

Другая гипотеза носит название "баллистической гипотезы Ритца". Она состоит в том, что скорость света может отличаться от $c,$ если источник света, или зеркало, сам движется. Но эта гипотеза опровергается астрономическими наблюдениями двойных звёзд: компоненты звезды имеют разные скорости в проекции на направление к земному наблюдателю, но свет от них приходит одновременно.

WebSter в сообщении #809773 писал(а):

Если заменить теперь $L'$ на $l_2$, а $v'$ на $c$

Вот здесь и зарыта собака. На $c$ надо заменять $v,$ а не $v'.$ Это во-первых. И во-вторых, $L'$ нельзя заменять на $l_2$ - это $L$ следует заменить на $l_2.$ А если вы теперь вычислите соотношение между $L'$ и $L,$ то у вас и вылезет давно искомый корень с минусом.

[WebSter]

Munin в сообщении #809783 писал(а):

С точки зрения неподвижного наблюдателя - скорость света $c$. Она направлена вдоль гипотенузы <...>
Почему именно скорость света для неподвижного наблюдателя всегда $c$ - отдельный вопрос. Это устанавливается другими опытами. Пока просто допустите, что это так.

А, ну тогда все становится на свои места... Спасибо.

Так, а почему тогда рассматривая горизонтальное движение света из неподвижной СО, мы берем скорости $c+u$ и $c-u$, а не $c$?

[spherical cow]

Потому что сначала зеркало "убегает" от луча, а потом, наоборот, движется на встречу.

[WebSter]

То есть речь идет не об изменении скорости света по Галилею, а о рассмотрении скорости сближения светового луча и зеркал?

[spherical cow]

WebSter в сообщении #809806 писал(а):

То есть речь идет не об изменении скорости света по Галилею, а о рассмотрении скорости сближения светового луча и зеркал?

Да, тут есть некоторая тонкость. В СТО во всех системах отсчета свет движется с одной и той же скоростью, но когда, как в нашем случае, один объект догоняет другой, скорости надо вычитать. Но под "относительной скоростью" понимают скорость, которую будет иметь один объект в системе отсчета другого. В классической механике это было одно и то же, но в СТО уже нет, закон сложения скоростей меняется.

[WebSter]

Кажется, дошло, спасибо)