Задача о нелинделёфовости слабой топологии

[martin03]

Топологическое пространство называется линделёфовым, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие. Доказать, что банахово пространство $l^\infty$ ограниченных последовательностей не является линделёфовым в слабой топологии $\sigma(l^\infty,(l^\infty)^*)$.
В известных мне работах имеются весьма сложные косвенные доказательства. Как бы попроще, а?