Топологическое пространство называется линделёфовым, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие. Доказать, что банахово пространство

ограниченных последовательностей не является линделёфовым в слабой топологии

.
В известных мне работах имеются весьма сложные косвенные доказательства. Как бы попроще, а?