О многочлене и простых числах

[_Ivana]

Otta в сообщении #809217 писал(а):

Но верно и то, что многочлен $P(x+kP(x))$ делится (как многочлен) на $P(x)$. Для любых значений коэффициентов.

А можно сказать, что это сразу очевидно, т.к. любой корень делителя является корнем делимого?

[Otta]

Можно, если еще и кратность обеспечить.

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #809221 писал(а):

А можно сказать, что это сразу очевидно, т.к. любой корень делителя является корнем делимого?

Тут с кратностями корней ещё нужно разбираться. Да и вообще, корень многочлена --- кто такой, где живёт?

[_Ivana]

Да, с кратностями я не подумал. А корень - комплексное число, дающее разложение многочлена на множители по основной теореме алгебры, если не ошибаюсь. Искать их не надо, достаточно показать, что при подстановке любого зануляется делимое. И что-то с кратностями добавить, конечно...

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #809229 писал(а):

А корень - комплексное число, дающее разложение многочлена на множители по основной теореме алгебры, если не ошибаюсь.

Да, но это для многочленов с числовыми коэффициентами. А в общем случае (когда коэффициенты многочлена суть элементы какого-нибудь кольца) всё не так просто.

[_Ivana]

Понятно. Думал, задачка как раз для меня, простая, про многочлены... А тут обнаружились сравнения по модулю, кольца и не числовые коэффициенты, и это ощущение ушло

[nnosipov]

Сравнения по модулю чего-то --- очень удобный инструмент. Ну, не зря же Гаусс придумал.

Для _Ivana

(Оффтоп)

Как можно понять из названия темы, ТС имел в виду следующую задачу: доказать, что не существует (непостоянного) многочлена с целыми коэффициентами, дающего при всех натуральных значениях аргумента простые числа. Вот некоторая вариация этой задачи, бывшая на одной из Московских олимпиад:

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом $p$ является простым числом.

Здесь по-прежнему элементарно, но немного поинтересней.

[Null]

nnosipov в сообщении #809251 писал(а):

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом $p$ является простым числом.

А теоремой Дирихле пользоваться можно?

[nnosipov]

Null в сообщении #809254 писал(а):

А теоремой Дирихле пользоваться можно?

Нет, разумеется (хотя здесь и достаточно её хорошо известного элементарного частного случая, так что такой способ в принципе возможен для школьника). Иначе пропадает вся интрига.

[_Ivana]

Мне удалось доказать данное утверждение, применяя факт, доказанный в этом топике, и некоторую дополнительную гипотезу, которая заключается в том, что мы обязательно найдем хотя бы одно простое число среди чисел вида $p+kq$, где $p, q$ - простые, а $k$ - натуральное, то есть среди подобной арифметической прогрессии. Я полез в инет проверять подобную гипотезу и нашел более общий факт - там будет бесконечно много простых чисел, и называется это... правильно, теоремой вышеупомянутого Дирихле

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #809312 писал(а):

и называется это... правильно, теоремой вышеупомянутого Дирихле

По-моему, узнать об этой теореме гораздо интересней, чем решить саму задачу. С чем и поздравляю