Связь силы и перемещения - помогите разобраться

[nshell32]

Есть два (с разными массами) покоящихся тела. И вот отпускаю их свободно лететь друг к другу $v_0=0$. Между ними действует только сила притяжения. Как будет выглядеть формула, связывающая силу и пройденный путь до столкновения? $s = \int{(\int{a(t)dt})dt} $. Тут ускорение зависит от времени, а сила притяжения зависит от расстояния, которое меняется в процессе. Как перейти от зависимости от расстояния к зависимости от времени? В формуле действия силы по приращению импульса учитывается, что расстояние в процессе уменьшается? Ини надобны "костыли"?

[Someone]

nshell32 в сообщении #808736 писал(а):

Как перейти от зависимости от расстояния к зависимости от времени?

Есть такая штука… Дифференциальное уравнение называется.

[nshell32]

Someone в сообщении #808759 писал(а):

nshell32 в сообщении #808736 писал(а):

Как перейти от зависимости от расстояния к зависимости от времени?

Есть такая штука… Дифференциальное уравнение называется.

Возможно, я плохо описал суть вопроса: суть в том, что при приближении двух этих тел, сила будет увеличиваться, а при увеличении силы будет быстрее приращаться импульс. тело будет быстрее перемещаться и снова сила на новом месте будет действовать сильнее. Если я проинтегрирую силу гравитации по времени, а потом еще раз по нему, поделю на массу - то получу ли путь, который пройдет тело за некое время? Мне кажется, что формула не будет учитывать возрастание при сближении тел силы.

[zvm]

То, что вы написали, есть частный случай задачи двух тел.
Соответствующее дифференциальное уравнение:
$\frac {d^2s(t)} {dt^2}=G\frac {m_1m_2} {m_1+m_2}\frac {1} {s^2(t)}$.
Интегрируйте и получите все, что вам нужно.

[Munin]

В общем, я посмотрел в учебники по теорфизике, схема такая.

Да, в формуле $s=\int(\int a\,dt)dt$ ускорение задано как функция положения, а не времени, и так просто интеграл не взять. Делают так:

Берём уравнение $m\,\dfrac{d^2x}{dt^2}=F$ (я здесь опишу одномерный случай, но в многомерном идея аналогична - только формулы сложней выглядят). Поскольку у нас сила зависит от расстояния, от положения $x,$ то и интегрировать её естественно по $dx.$ Домножим правую и левую части на $dx$:
$m\,dx\,\dfrac{d^2x}{dt^2}=F\,dx.$
Теперь слева распишем $dx=(dx/dt)\,dt=v\,dt,$ и получим:
$mv\,dt\cdot\dfrac{d}{dt}\biggl(\dfrac{dx}{dt}\biggr)=mv\,dt\cdot\dfrac{dv}{dt}=mv\,dv=F\,dx.$
Выражение $mv\,dv$ мы знаем, чему равно: $mv\,dv=\tfrac{1}{2}m\,d(v^2).$ Отсюда получаем:
$d\Bigl(\dfrac{mv^2}{2}\Bigr)=F\,dx.$

Теперь очень важный шаг. Само по себе это уравнение пока ещё ничего не даёт. Но допустим, что оно интегрируется. Это значит, что функция $F$ задана так, что она образует собой производную по координате от какой-то скалярной функции $U$ (она называется потенциальной энергией или механическим потенциалом; знак минус выбран просто по традиции):
$F=-\dfrac{dU}{dx}$
Тогда проинтегрировав это уравнение, мы получаем закон сохранения энергии:
$d\Bigl(\dfrac{mv^2}{2}\Bigr)=F\,dx=-dU$
$\dfrac{mv^2}{2}=-U+\mathrm{const}$
$\dfrac{mv^2}{2}+U=\mathrm{const}$
и эту константу обозначим $E.$

Всё, с этого момента всё очень просто:
$v=\dfrac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}(E-U)}$
$t-t_0=\pm\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{2}{m}(E-U)}}$
и зависимость $x(t)$ получается как обратная от этой функции. Конкретные детали, типа выбора знака, тоже все выясняются.

[nshell32]

Спасибо всем, особенно munin! Тема закрыта.

[Munin]

На самом деле, метод этот применяется далеко не всегда. Часто можно проинтегрировать дифференциальные уравнения движения иначе. А этот метод даёт не всегда удобный результат.

Но, например, именно этим методом находят движение по законам Кеплера, именно в случае двух тел, притягивающихся по закону Ньютона. И этим методом исследуют теоретически движение в более общих случаях, например, движение в поле центральных сил и в задаче рассеяния.