МТФ и ВТФ

[ishhan]

Уважаемые господа!
Дабы на время ослабить накал накал страстей вокруг ВТФ, предлагаю вашему вниманию уравнение включающее формулировку МТФ :

$$X^P-X=Y^P$$

, где P простое число.
Позитивным с нашей точки зрения будет являться тот факт, что если его решением является число $X=A^P$, то это решение будет так же решением ВТФ.
Отметим нетривиальный геометрический смысл уравнения МТФ в записи: $ ( 1_1+1_2+...+1_x)^P-1_1^P-...-1_x^P=X^P-X$.

Так из геометрических соображений можно сделать вывод:
если из гиперкуба размерности $P$ и целочисленной стороной $X$ исключить $X$ единичных кубиков расположенных вдоль главной диагонали, которая является поворотной осью симметрии P-го порядка, то получим фигуру в пространстве$ P$ измерений и объём этой фигуры будет кратен числу $P$.

Кратность объёма фигуры числу измерений P объясняется тем , что X неподвижных кубиков, лежащих на оси симметрии, мы удалили и остались только те кубики, которые при повороте на 1/P часть от полного оборота меняются местами.
Было бы интересно узнать Ваше мнение относительно того, в каких случаях это уравнение имеет решения в целых числах.

[migmit]

Фраза "уравнение включает формулировку" меня выключила.

[Руст]

ishhan в сообщении #804909 писал(а):

Уважаемые господа!
Дабы на время ослабить накал накал страстей вокруг ВТФ, предлагаю вашему вниманию уравнение включающее формулировку МТФ :

$$X^P-X=Y^P$$

, где P простое число.

Очевидно, что нет целых решений, кроме $Y=0,X=\pm 1$.

[vasili]

Уважаемый ishhan! Из представленного Вами уравнения следует, что
$(Y^P, X) = X$ и $X >Y$.
А это значит, что простые делители чисел $X$ и $Y$ совпадают, но имеют разные показатели степени.
Так например$X =P_1^2P_2^2P_3^4$, а
$Y = P_1P_2P_3^3$.
Тогда после сокращения уравнения на X получим $X^{P-1} -1= Y_1$, где $(X,Y_1) = P_1P_2P_3$
Пришли к противоречию, так как 1 не делиться на $P_1P_2P_3$.
Уравнение не имеет решение в натуральных числах.

[ishhan]

migmit в сообщении #804919 писал(а):

Фраза "уравнение включает формулировку" меня выключила.

У "слабонервных" заранее просим прощения за последующую трактовку геометрического смысла ВТФ)
Так на примере $n=3 $
Геометрический аналог словесной формулы уравнения Ферма можно озвучить так:
Для выполнения ВТФ$ n=3$ объём фигуры двенадцатигранника $W=3(Z-X)(Z-Y)(X+Y)$ с 24 вершинами с 36 рёбрами $Z,Y,X,Z-X,Z-Y,X+Y-Z $должен равняется объёму куба $(X+Y-Z)^3 $, который эта фигура охватывает своими шестью рёбрами длины $X+Y-Z$.
Теперь заметим, что и куб с ребром $X+Y-Z$ и фигура W имеют поворотную ось симметрии третьего порядка, но в случае фигуры W ось симметрии не имеет с объёмом W ни одной общей точки и поэтому при повороте на 120 все точки фигуры W меняются местами, а в случае куба при его повороте на тот же угол, точки главной диагонали останутся на месте.
Как было замечено выше, экспертами в лице уважаемого Руст,
уравнение: $X^P-X=Y^P$ имеет только тривиальное решение
поэтому можно предположить следущее:
Если исключить из гиперкуба неподвижные единичные ячейки находящиеся на главной диагонали или на поворотной оси симметрии третьего порядка, то полученная фигура не может иметь целочисленный объём другого гиперкуба.
Это наводит мысли о невозможности ВТФ благодаря соображениям подобного порядка.
Буду рад услышать Вашу критику по поводу такого подхода к ВТФ.

[Aritaborian]

ishhan в сообщении #805282 писал(а):

двенадцатигранника <...> с 24 вершинами с 36 рёбрами

[ishhan]

Aritaborian в сообщении #805322 писал(а):

ishhan в сообщении #805282
писал(а):
двенадцатигранника <...> с 24 вершинами с 36 рёбрами

ishhan в сообщении #805282 писал(а):

двенадцатигранника <...> с 24 вершинами с 36 рёбрами

фигура W с объёмом$ 3(Z-X)(Z-Y)(X+Y)$ -чёрно-серый двенадцатигранник (видно только 6 граней) охватывает белый кубик с ребром X+Y-Z.

[Aritaborian]

Чёрно-серая фигура — девятигранник. Шесть граней нам видны, а сзади, очевидно, ещё три. И я, кстати, на формулу Эйлера намекал.

[ishhan]

Aritaborian в сообщении #805338 писал(а):

И я, кстати, на формулу Эйлера намекал.

Этот многогранник не описывается формулой Эйлера, так как мы имеем дело с фигурой инвариантной тору, а формула Эйлера относится к многогранникам инвариантным сфере, это известный факт.
И он всё же имеет двенадцать граней, а не 9 как вы Aritaborian ошибочно утверждаете.
Привожу для полной ясности вид многогранника W и с "лицевой" и с "обратной" стороны :



В нашем случае число вершин 24 плюс число граней 12 равно числу рёбер 36.

[Aritaborian]

Значит, я сначала неправильно его себе представил. Теперь понимаю, спасибо.

[ishhan]

Happy New Year!
По поводу формулы Эйлера, у Вас, Aritaborian, намёк был правильный.
По ходу рассмотрения геометрического смысла ВТФ3 выясняется, что помимо всего прочего( поворотная ось симметрии $O_3$), мы приравниваем объёмы двух негомеоморфных многогранников $W$ и $C$ см рис.

То есть, многогранник $W$, кроме геометрических характеристик, таких как длины рёбер имеет характеристику Эйлера $\chi_W$
$\chi_W=12+24-36=0$.
Соответственно многогранник C или в нашем случае куб имеет другое значение характеристики $\chi_C=6+8-12=2$.
В топологии это означает, что W и C негомеоморфные или то, что не существует биекции связывающей структуры пространств W и C.
В геометрии понятию гомеоморфизма соответствует понятие конгруэнтности.
Это противоречие представлено другим образом в алгебраическом равенстве объёмов $(X+Y-Z)^3=3(Z-X)(Z-Y)(X+Y)$
Но "в топологическом виде" это противоречие смотрится более наглядно, так как налицо топологическая несовместимость многогранников W и С.

[provincialka]

И как топология объекта связана с его объёмом? Кстати, для $n=2$ аналогичное построение также дает не гомеоморфный образ. И что? ВТФ-то на $n=2$ не распространяется.

[ishhan]

provincialka в сообщении #809028 писал(а):

И как топология объекта связана с его объёмом? Кстати, для $n=2$ аналогичное построение также дает не гомеоморфный образ.

Вот случай $n=2 и$:



не вижу проблем с существованием преобразования, типа движение, переводящего единичные ячейки белых прямоугольников $(z-x)(z-y)$
внутрь квадрата со стороной $x+y-z$.
Есть и другие нюансы.
В случае ВТФ3 многогранники имеют общую границу протяжённостью $ 6(x+y-z)$
В случае ВТФ2 общими будут две точки.
Но Ваш вопрос по поводу различия объёма многогранников с целочисленными рёбрами имеющими разное топологическое строение пока остаётся открытым.
Тут нужно сформулировать Лемму.

[provincialka]

ishhan в сообщении #809127 писал(а):

Тут нужно сформулировать Лемму.

"И ставит, и ставит им градусники"

[ishhan]

(Оффтоп)

Знакомая реакция на ВТФ тему.

provincialka в сообщении #809216 писал(а):

"И ставит, и ставит им градусники"

Просьба, если можно, подробней прокомментировать по поводу аналогичного построения:

provincialka в сообщении #809028 писал(а):

Кстати, для $n=2$ аналогичное построение также дает не гомеоморфный образ