Разные простые вопросы по математике

[Denis Russkih]

(оффтоп внутри оффтопа)

mihailm в сообщении #807973 писал(а):

Denis Russkih, вашу подпись можно продолжить. Что такое cos пополам? это что-то типа cc, вторая c это половинка o

Вы невнимательно изучали выкладки. Черта у дроби горизонтальная, поэтому если уж делить, то резать "$cos$" надо по горизонтали: COS. :)

ex-math

Огромное спасибо за рекомендации, учту. :)


Munin

Давно собираюсь делать всё по уму, но что-то вот никак не получается. Скучновато становится брести утоптанными тропами, следуя дорожным указателям. Гораздо интереснее носиться по всему бескрайнему полю наук, непредсказуемо выскакивая то здесь, то там. :) К сожалению, платой за это является поверхностность знаний и плохая их состыковка в голове.


Ладно, всё, прекращаю оффтопить. :)

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #808066 писал(а):

К сожалению, платой за это является поверхностность знаний и плохая их состыковка в голове.

И крайне низкий КПД: то, что вы воображаете знаниями, является знаниями процентов на 10, не больше.

Я через всё это проходил, и хочу вас предупредить от фейлов.

А лекарством от скуки может стать глубокая заинтересованность в каждой детальке пути вдоль по учебнику. Поверьте, это всё на самом деле интересно. Просто вы пока не соприкоснулись с ним, и не в курсе.

И дорожные указатели - когда вы накушаетесь того, насколько часто и сильно их не хватает, вы научитесь их ценить.

[arseniiv]

(2 Aritaborian.)

Aritaborian в сообщении #808052 писал(а):

До меня, кажется, наконец, дошло, что вы предпочитаете определение в терминах окрестностей. Или дошло неправильно? Просто для меня это абсолютно одно и то же.

Если бы это не было одним и тем же, это были бы разные пределы. А вообще я предпочитаю в совершенно бесполезном смысле — всё равно не занимаюсь ничем, что бы требовало работать прямо с определением. Нравится — нравится. Вообще же я его в данный момент не помню, ну и, наверно, все понимают, насколько аккуратно надо относиться к чьим-нибудь личным причудам.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Да в самом деле, фигня это. Хватит уже оффтопить ;-)

[Munin]

Denis Russkih
См. ещё сообщение post794397.html#p794397

[Denis Russkih]

Munin

Спасибо, с большим интересом прочитал тот пост (а затем и всю тему, с самого начала).

Скажите, а теория категорий на каком месте находится в этой иерархии? Или она вообще в сторонке?

[Aritaborian]

Denis Russkih В стороне.
Munin, и от меня спасибо вам за тот пост про дифференциальные, интегральные, функциональные, операторные и прочие уравнения.

[Denis Russkih]

Наверное, я малость коряво выразился... Я имел в виду, можно ли в теории категорий заниматься чем-то похожим на решение уравнений? :) Находить неизвестное, основываясь на уже известном?

Или теория категорий просто позволяет описывать некоторые вещи более удобным образом, находить нечто общее между совершенно разными на вид вещами — но процесс нахождения этого "общего" скорее интуитивный, и не имеет ничего общего с решением уравнений? :)

Мне просто давно интересен вопрос, можно ли создать какую-то "теорию теорий", которая позволила бы сделать введение новых понятий и создание новых математических концепций практически "делом техники". (Сейчас это творческий акт, требующий некоторого чутья. Примерно как решение уравнений методом подбора.)

И в связи с этим любопытно, насколько теория категорий близка к решению подобных задач. :)

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #808520 писал(а):

Скажите, а теория категорий на каком месте находится в этой иерархии? Или она вообще в сторонке?

В сторонке.

Теория категорий - находится в другой иерархии.

Что такое "пять"? Что такое пять яблок - это понятно (когда речь идёт о конкретных яблоках). Что такое пять стульев - тоже. Но "пять" - это то нечто общее, что охватывает общие свойства и пяти яблок, и пяти стульев, и очищено от всего, что в их свойствах различного. Это абстракция (лат. abstractum - "отвлечённое").

Когда математики рассматривают математические системы и структуры, то тоже применяют абстрагирование. Например, можно взять систему из действительных чисел $\mathbb{R}$ и операции сложения ``$+$''. Эта система будет называться группой действительных чисел по сложению $(\mathbb{R},+).$ Но кроме того, можно взять половину действительных чисел - только те, которые больше нуля - $\mathbb{R}^+,$ и рассмотреть их группу по умножению: $(\mathbb{R}^+,\cdot).$ Оказывается, эти группы одинаковые, они могут быть точно сопоставлены один-в-один, и не будет никаких различий - они изоморфны. Поэтому математикам незачем вообще говорить, что это разные группы. Они говорят, что это одна группа, а для педантичности прибавляют оговорку "с точностью до изоморфизма". По сути, это означает, что правила действия операции в этих группах одни и те же, а отличия только в переименовании одних элементов в другие. (Упражнение: найдите, в какие элементы группы $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ должны быть переименованы такие элементы группы $(\mathbb{R},+)$: $0,1,2,-1,-3.$ Указание: ответ неоднозначен. Упражнение: постройте переименование (изоморфизм) между группами $(\{0,1,2,3,4\},+)$ и $(\{1,2,3,4,5\},\cdot).$) Такой изоморфизм позволяет отвлечься от того, как "реализован" какой-то математический объект или система, и сосредоточиться на его структуре и свойствах.

Так вот, категории - это следующий этап такого абстрагирования. Они позволяют отвлечься даже от структуры и свойств математических систем, и сосредоточиться на кое-чём ещё более абстрактном. Но здесь я не буду пускаться в конкретику, потому что (а) не смогу изложить точно, (б) не смогу изложить внятно, и (в) для понимания этой идеи нужен некоторый запас знаний, которым вы пока не обладаете - знание некоторого набора примеров. А без этого запаса, рассказывать эту идею - может вам только навредить.

-- 02.01.2014 02:44:16 --

Denis Russkih в сообщении #808533 писал(а):

Наверное, я малость коряво выразился... Я имел в виду, можно ли в теории категорий заниматься чем-то похожим на решение уравнений? :) Находить неизвестное, основываясь на уже известном?

Можно. Но это довольно непохоже на обычные (привычные вам) уравнения, поэтому я не буду углубляться в детали.

Denis Russkih в сообщении #808533 писал(а):

Или теория категорий просто позволяет описывать некоторые вещи более удобным образом, находить нечто общее между совершенно разными на вид вещами — но процесс нахождения этого "общего" скорее интуитивный, и не имеет ничего общего с решением уравнений? :)

Нет, теория категорий - не "интуитивная" и догадочная, а вполне чёткая, и допускает точные вычисления и строгие доказательства. Иначе она и не была бы математическим инструментом.

Denis Russkih в сообщении #808533 писал(а):

Мне просто давно интересен вопрос, можно ли создать какую-то "теорию теорий", которая позволила бы сделать введение новых понятий и создание новых математических концепций практически "делом техники". (Сейчас это творческий акт, требующий некоторого чутья. Примерно как решение уравнений методом подбора.) И в связи с этим любопытно, наколько теория категорий близка к решению подобных задач. :)

На это я вам уже однажды отвечал: такое сделать можно, но результат будет бесполезен. Математике нужны не просто новые понятия, а хорошие новые понятия, а это всегда будет творческой задачей.

[Denis Russkih]

Munin

Извините, Вы сейчас с кем разговаривали? :) Я честно попытался хоть что-то понять, погуглил теорию групп, почитал статью на "Элементах", заглянул в пару учебников, но там всюду такая укурка, что я даже толком не врубился, о чём идёт речь. :) Какая-то даже не китайская, а инопланетная грамота.

Одно я понял хорошо: о теории категорий мне пока рановато думать, если я не могу понять даже теорию групп, чем она вообще занимается. А теория категорий — это следующий уровень непонятной хрени абстракции. :)

Munin в сообщении #808536 писал(а):

Упражнение: найдите, в какие элементы группы $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ должны быть переименованы такие элементы группы $(\mathbb{R},+)$: $0,1,2,-1,-3.$ Указание: ответ неоднозначен.

Munin в сообщении #808536 писал(а):

Упражнение: постройте переименование (изоморфизм) между группами $(\{0,1,2,3,4\},+)$ и $(\{1,2,3,4,5\},\cdot).$

Вы действительно считаете, что приведённых сведений достаточно для решения этих задач? :) Даже прогуглив полдня, я всё ещё понятия не имею, как строятся эти переименования (изоморфизмы), и как их потом записать. :) Даже не знаю, что должно быть ответом: число, множество, два столбика из чисел со стрелочками между ними, цветочный горшок, кашалот, ещё какие-то варианты?

P.S. Пробовал, в том числе, гуглить "построим изоморфизм" — надеялся, что на практических примерах станет яснее, что это за зверь такой. Хотелось посмотреть хотя бы на один построенный изоморфизм. Результаты повергли меня в печаль. :)

[ex-math]

Denis Russkih в сообщении #808714 писал(а):

два столбика из чисел со стрелочками между ними

Ну вот, Вы уже на верном пути

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #808714 писал(а):

Вы действительно считаете, что приведённых сведений достаточно для решения этих задач? :)

Уверен, что девятикласснику - да :-)

Тьфу! Забыл сказать существенную деталь: во множестве $\{0,1,2,3,4\},$ когда мы "доходим до края", мы начинаем по кругу опять сначала.

Denis Russkih в сообщении #808714 писал(а):

Даже прогуглив полдня, я всё ещё понятия не имею, как строятся эти переименования (изоморфизмы), и как их потом записать. :)

А вы не гуглите. Вы подумайте :-)

[provincialka]

Denis Russkih, да ничего там сложного нет. Просто сопоставьте числам $x\in\mathbb R$ числа $y\in \mathbb R^+$ так, чтобы, когда иксы складываются, соответствующие игреки умножались. Не припомните такого правила в школьном учебнике? Это я про первое задание говорю.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #808536 писал(а):

$(\{1,2,3,4,5\},\cdot).$

Эм-м-м, а что это такое? $1\cdot 5=5, 2\cdot 5=5$?

[provincialka]

Nemiroff надо думать, там умножение идет по модулю 6, так что $2\cdot 5 = 4$.