Навье-Стокс

[Oleg Zubelevich]

Через $D\subset \mathbb{R}^3$ обозначим ограниченную область с хорошей границей.
Рассмотрим уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости

$$(v_i)_t=-v_k\partial_k v_i +\Delta v_i-\partial_i p,\quad \partial _kv_k=0,\quad v_i(t,\partial D)=0.$$

В качестве начального условия $v_i(t,x)\mid_{t=0}=\hat v_i(x),\quad \partial_i \hat v_i=0$ возьмем гладкую функцию, которая равна нулю всюду в $D$ за исключением малой подобласти $D'\subset D$, в $D'$ функция $\hat v_i$ не равна нулю тождественно.
В этом случае, при малых $t>0$ наша задача имеет гладкое решение $v_i(t,x)$ причем не существует такого открытого подмножества $D$ на котором данное решение тождественно обращалось бы в 0 хотя бы при каком-то одном $t'>0$.
Этот факт как-будто противоречит нашей интуиции. А что скажут физики?

[warlock66613]

Ну а что вы хотите от уравнений, не учитывающих конечность скорости звука?

[Утундрий]

С Фурье (которое теплопроводности), кстати, та же история.

[Joker_vD]

Утундрий
И точно помню, что сей факт нам рассказали чуть ли не на втором занятии по УМФ.

[Zai]

Физически и это соответствует эксперименту, ни тепло ни воздействие вязкости на течения не могут распространяться быстрее скорости звука в среде. Определяющие уравнения, учитывающие это очень сложны.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Zai в сообщении #808299 писал(а):

Определяющие уравнения, учитывающие это очень сложны.

Да, страсть как сложно перейти к уравнениям газовой динамики или добавить в Фурье член со второй производной по времени...

[Zai]

(Оффтоп)

Цитата:

перейти к уравнениям газовой динамики...

Уравнения волнового распространения тепла все же проще неравновесных уравнений газовой динамики.

[evgeniy]

Я решаю эти уравнения и довольно успешно в комплексной плоскости. Турбулентное решение имеет вид $\vec V=\sum_n \frac{\vec a_n}{g(t)-g_n(t_n)}\varphi_n(\vec r)$. ламинарное решение особенности не имеет. Как получить эти решения, это довольно сложная задача. При действительных начальных условиях решение быстро стремится к бесконечности. При комплексных начальных условиях выражение $g_n(t_n)$ комплексное и при действительном времени полюс не стремится к бесконечности.
При сжимаемой жидкости уравнения Навье - Стокса и уравнение неразрывности сводятся к волновым уравнениям, так что скорость звука в них присутствует. Уравнение Навье - Стокса это второй закон Ньютона для жидкости и совсем не обязательно включать скорость возмущения. Это стандартная нелинейная задача и имеет особенности нелинейных задач. К каким уравнениям сводится уравнение Навье - Стокса см. мой первый тост в теме "комплексное пространство".

[Munin]

Zai в сообщении #808299 писал(а):

Определяющие уравнения, учитывающие это очень сложны.

Разве что если речь идёт о кинетических уравнениях. И с математической точки зрения - чего в них сложного? Просто поток рассматривается не в трёхмерном пространстве, а в шестимерном.

[Munin]

Munin в сообщении #815551 писал(а):

И с математической точки зрения - чего в них сложного? Просто поток рассматривается не в трёхмерном пространстве, а в шестимерном.

Я соврал, конечно же. Кинетические уравнения - интегро-дифференциальные.