2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 11:09 


10/04/12
704
alex_dorin в сообщении #807938 писал(а):
Xaositect -

В какой литературе это есть ? Какие аксиомы ZF(C) необходимы для этого, нужна ли аксиома индукции ?


Бурбаки, Теория множеств. Принцип индукции доказывается там (глава III, параграф 4, раздел 3 Принцип индукции). Там доказывается:


Пусть $R\{n\}$---соотношение в теории $\mathfrak T$ (для которой $n$ не является константой). Предположим, что соотношение
$$
R\{0\} \;\hbox{и}\; (\forall n) ((n\hbox{---целое число и }R\{n\})\Rightarrow R\{n+1\})
$$
является теоремой теории $\mathfrak T$. При этих условиях соотношение
$$
(\forall n) ((n\hbox{---целое число})\Rightarrow R\{n\})
$$
есть теорема теории $\mathfrak T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 11:40 


08/03/11
273
А. Мостовский в книге "Конструктивные множества и их применения" пишет о схеме аксиом для выразимости акcиомы индукции для арифметики и о выразимости более слабой аксиомы в NBG. Как для меня, все эти соображения о схемах аксиом - это фактически признание факта необходимости использования логики второго порядка. Эти все научные труды
с использованием схем аксиом были написаны давно, когда о логике 2-го порядка речи не было. Я это оцениваю как атавизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 14:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Почему тогда останавливаться на втором порядке? Давайте использовать логику 68-го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Вообще-то, определение натурального ряда как наименьшего индуктивного множества в ZF автоматически означает, что аксиомы индукции на этом множестве выполняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 16:03 


08/03/11
273
Возможно определение натурального ряда как наименьшего индуктивного множества - это больше, чем нужно для аксиоматизации арифметики ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выводимы ли в ZF аксиомы Пеано ?
Сообщение31.12.2013, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Разумеется, больше. У арифметики Пеано первого порядка есть модели, которые гораздо больше, чем наименьшее индуктивное множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group