Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[schekn]

Трудность изучение теории №2.
Время от времени в литературе возникает вопрос о влиянии координатных условий на физически измеряемые величины в ОТО. Казалось бы, в корректно построенной теории при условии общековариантности уравнений такого влияния не должно быть. Но в случае с уравнениями ОТО все не так просто. Книга Темчина "уравнения Эйнштейна на многообразии" ( ссылку приведу позже в конце ) еще раз заставило задуматься о данной проблеме. Сразу возникает вопрос, что значит единственность решение уравнений в задачах по ОТО, и что значит те инвариантные величины, измеряемые непосредственно, которые не должны зависеть от координатных условий. Чисто с точки зрения математики даже решение Шварцшильда не является единственным, поскольку аналитический вид метрических компонент, как функций координат, зависит от дополнительных уравнений связи. Я приведу несколько примеров на непрофессиональном уровне, которые заставляют задуматься, что закрывать вопрос о координатных условиях в рамках ОТО рано.

Когда решают какую-то задачу по гравитации в рамках ОТО, чтобы проверить правильность теории, обычно сначала находят метрику в каких-то координатах, то есть решают вот такую систему дифференциальных уравнений ( запишу уравнений Гильберта- Эйнштейна вне вещества для простоты рассмотрения) :

$R_{\mu\nu}=0, \quad F^{\alpha}(g_{\mu\nu}, \partial{g_{\mu\nu}}/\partial{x_{\lambda}}...)=0$

${\mu}, {\nu}=0,1,2,3$. Вторая система уравнений есть условия связи, которые накладываются теоретиком, чтобы получить какое-то определенное (хотелось бы сказать единственное) решение относительно метрических компонент и которое в дальнейшем потребуется, чтобы решить задачу в рамках ОТО. Это решение определяет псевдориманову геометрию пространства-времени. А вот далее хотелось бы услышать комментарии профессиональных математиков.

Приведу пример некоторых уравнений связи для нахождения вакуумных решений вне шара для сферически симметричной задачи:
0 – временная компонента, пространственные i=1,2,3. Стандартные:

$R_{\mu\nu}=0, \quad(1)\quad g_{0i}=0,\quad g_{\theta\theta}=g_{\varphi\varphi}=r^2\quad(2)$

Гауссовы:

$R_{\mu\nu}=0, \quad(3)\quad g_{0i}=0,\quad g_{00}=1\quad(4)$

Гармонические:

$ R_{\mu\nu}=0,\quad(5)\quad (\sqrt{-g}g^{\mu\nu}),_{\nu}=0\quad(6)$

В учебнике Ландау ЛЛ-2 пар. 100, когда приводится вывод метрики Шварцшильда в стандартных координатах, постоянно сталкиваешься с выражением типа: у нас есть произвол в выборе координаты r, есть произвол в выборе t и т.д. Почему-то я не встречал критику данного метода, хотя тут есть явная не строгость. Так интуитивно получает решение физик, зная, что оно должно быть. Когда за дело берется математик, то начинаются проблемы. Ему надо строго решить систему из 10 уравнений, найти все постоянные интегрирования, доказать, что решение единственно. Причем для каждого класса системы уравнений (1,2) , (3,4) , (5,6)…

Если взять систему (1), (2) , то сразу видно, что хотя она и полная: (10 независимых уравнений и 10 неизвестных), но при этом нековариантная, поскольку дополнительные условия (2) не могут быть ковариантными в принципе. Данный выбор доп. условий продиктован тем, что у экспериментаторов имеется уверенность, что радиальную координату r тела можно определить исходя из измерения длины дуги $dl=rd{\varphi}$ ,и она, предполагается теоретиком, определяется с бесконечно высокой точностью. Это вообще говоря, не так, да и не всегда тела свободно движутся по окружности вокруг гравитирующего тела. По сути эти условия связи (2) ставят некоторые условия на калибровку пространства. К этому моменту я вернусь в примере №3.

В самом общем виде система уравнений 2-го порядка из 10 неизвестных функций имеет 20 постоянных интегрирования (так мне указали математики). Но где уверенность, что эти самые постоянные, которых реально оказываются гораздо меньше, будут совпадать с постоянными решений системы уравнений (1), (2) и (5), (6)? Если это так, это необходимо строго доказать.

При нахождении класса решений метрики Шварцшильда накладываются краевые условия: на бесконечности метрические компоненты переходят в компоненты плоского пространства. Это очень неясное условие. Непонятно, почему обязательно в плоское, неясно с какой асимптотикой это происходит. Существует бесконечно много таких решений. С другой стороны, как показала дискуссия в печати о доказательстве равенства инертной и тяжелой массы для одинокого статического тела, компоненты должны переходить именно в галилеевы координаты, то есть это должно было быть, видимо, оформлено как дополнительный постулат теории? Посмотрим на примерах, как тут могут проявляться сложности в неопределенности выбора условий связи.

Пример 1. Строгого решения системы уравнений (3) и (4) (в гауссовых координатах) даже для сферически симметричной задачи я в литературе не встречал (хотя может он и существует). Обычно берут стандартное решение Шварцшильда, где область координаты $r:r>r_g$ и применяют недопустимые в некоторых областях преобразование координат. Таким образом, получается другой класс решений типа Леметра, которое имеет область определения $r>0$. Но совершенно непонятно, почему выбирая другие координатные условия ( гауссовы координаты (4)), и честно решая данную систему, мы получили вдруг другую область определения и другое неэквивалентное решение, если при этом утверждается, что все координатные системы равноценны в теории? Я не нашел ответы на этот вопрос.

По этому поводу была ремарка у Хоккинга-Эллиса, что эквивалентными моделями гр. поля являются не все решения уравнений Эйнштейна $g_{\mu\nu}$, а только если соблюдается принцип диффеоморфизма (если необходимо - процитирую). Поэтому видимо, поле Черной дыры, согласно критерию Хокинга, неэквивалентна полю вне вещества статического шара.

Поэтому можно предположить, что при таком неясном методе выбора условий связи - (2), (4), (6), мы, можем найти такие координатные условия, что можем вообще получить нефизические решения, которые не будут отвечать какой-либо реальной модели гравитационного поля.

Надо отметить, что сама метрика нам нужна только, как начало. Чтобы доказать правильность общепризнанной теории ОТО нужно например, изучить геодезические. Кроме того было отмечено в ряде работ, что для корректной постановке задачи Коши и доказательства единственности, координатные условия очень важны. Тут начинаются свои сложности. (Арифов Л.Я. «Общая теория относительности и тяготение», стр. 132-135 (http://www.twirpx.com/file/869066/) . Но я не буду сейчас углубляться в эту сложную тему.

Так же отмечу, что если при использование координатных условий (2) мы привязываемся при калибровке пространства к длине дуги, то в случае (4) этого сделать уже сложно, длина дуг зависит от временной координаты.

Теперь давайте посмотрим на условия Фока (=Ланцоша) (6). Там стоят первые обычные производные от метрических компонент. Тут наиболее явно видно, что система нековариантная, хотя она вошла во многие учебники, как удачный выбор координатных условий. Темчин пишет, что при этом система дифференциальных уравнений (5) и (6) с точки зрения математики совершенно другого класса, чем например (3),(5).

От себя могу отметить "забавный" факт: то, что Вайнберг называет метрикой в "гармонических" координатах

$ds^2=(\frac{r-m} {r+m})dt^2-(\frac{r+m} {r-m})dr^2-(r+m)^2d{\Omega}^2\quad (8)$

($c=G=1$) не удовлетворяет гармоническим условиями Фока (6) $(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}),_{\nu}=0$ (что можно проверить непосредственно), а какая же удовлетворяет? А вот такая:

$ds^2=(\frac{r-m’} {r+m’})dt^2-(1+m’/r)(dx^2+dy^2+dz^2)-(\frac {r+m’} {r-m’}) m’^2/r^4(xdx+ydy+zdz)^2\quad(9) $

(Фок стр 287, (58.05)).

Это наводит на мысль, что эти 2 решения отвечают разным моделям поля, и постоянная интегрирования m и m’, которые входят в них, возможно не равны между собой, но как-то связаны.
Пример 2. Если все таки мы ищем решение уравнений Г-Э. на элементарном многообразии, но покрыли ее 2-мя картами, то вполне может сложиться ситуация, когда функция сшивки карт и переход между 2-мя решениями разные. ( Рассматривать не буду, он мне неинтересен).

После небольшого перерыва и умных (и не очень ) комментариев я рассмотрю Пример №3 , наверное, наиболее интересный.

Для интересующихся данной проблемой ссылка на книгу Темчина http://www.twirpx.com/file/1294932/ .

[Утундрий]

schekn в сообщении #797957 писал(а):

возникает вопрос о влиянии координатных условий на физически измеряемые величины в ОТО

Логичнее было бы начать с перечисления "физически измеряемых величин в ОТО".

[schekn]

Утундрий в сообщении #798003 писал(а):

schekn в сообщении #797957 писал(а):

возникает вопрос о влиянии координатных условий на физически измеряемые величины в ОТО

Логичнее было бы начать с перечисления "физически измеряемых величин в ОТО".

Вообще говоря, это тоже вопрос. Что мы берем в качестве критерия правильности теории гравитации? Может изучение геодезических и сравнение их по некоторым параметрам с геодезическими в пространстве без гравитации?
Что измеряют астрономы и является ли это что-то физически инвариантыми величинами?

[Утундрий]

schekn в сообщении #798077 писал(а):

Вообще говоря, это тоже вопрос

И разрешить его надобно прежде.

[schekn]

Утундрий в сообщении #798341 писал(а):

schekn в сообщении #798077 писал(а):

Вообще говоря, это тоже вопрос

И разрешить его надобно прежде.

У меня сложилось стойкое впечатление, что эти инвариантные величины каждые свои в системах уравнений (1,2), (3,4)..
Они могут пересекаться, но могут и не совпадать. То есть условия связи накладывают свой отпечаток и на калибровку пространства-времени и на величины, которые будут считаться инвариантными в данном классе дифференциальных уравнений. Если я неправ, пусть проф. меня поправят.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #797957 писал(а):

В самом общем виде система уравнений 2-го порядка из 10 неизвестных функций имеет 20 постоянных интегрирования (так мне указали математики).

Это у системы обыкновенных дифференциальных уравнений. А у Эйнштейна-Гильберта система уравнений в частных производных. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит набор произвольных констант интегрирования, а общее решение дифференциального уравнения в частных производных - набор произвольных функций. Например, волновое уравнение $\left( \partial_t^2 - \partial_x^2 \right) f(t, x) = 0$ имеет решение $f(t, x) = A(x + t) + B(x - t)$, где $A$ и $B$ - произвольные функции. Поэтому "единственность" решения системы уравнений в частных производных имеет чуток иной смысл чем "единственность" решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

[Munin]

schekn в сообщении #798574 писал(а):

У меня сложилось стойкое впечатление

Это у вас самая большая проблема.

schekn в сообщении #798574 писал(а):

Если я неправ, пусть проф. меня поправят.

Вы неправ. Что дальше?

[schekn]

Утундрий в сообщении #798341 писал(а):

И разрешить его надобно прежде.

Жаль Вы не докончили тему про ХИ-инварианты. Для решения системы (1,2) и для для (3,4) - они похоже разные.

-- 11.12.2013, 18:33 --

SergeyGubanov в сообщении #798584 писал(а):

Поэтому "единственность" решения системы уравнений в частных производных имеет чуток иной смысл чем "единственность" решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При решении системы (1) (2) возникает параметр M. Как он квалифицируется в решении дифуров в частных производных? Если М - постоянная интегрирования, то одна и та же в разных системах, или нет, если видно, что совпадают в системах уравнений только первые 6, а уравнения связи совершенно разные? Есть ли теорема по этому поводу?
Что тогда называется "единственностью" уравнений в частных производных? И что собственно мы должны проверять? В каждой системе (1,2)-(5,6) свои инварианты, а что общего у них, ну кроме может инвариантов кривизны?

[Утундрий]

(Оффтоп)

schekn в сообщении #799220 писал(а):

Жаль Вы не докончили тему про ХИ-инварианты

Я продолжу при первой возможности. Но что делать, если есть такой дурдом под названием "конец года". Вот сейчас я в полусонном виде поброжу тут часок и спать.

[schekn]

Пример 3.
Думал, как же лучше сформулировать задачу, чтобы не запутаться. Ну в общем написал как было, а дальше буду подправлять , если что не так. Скажем, мы решили измерить время прохождения света между двумя точками $A (x^0,x^1,x^2,x^3)$ и $B (x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) $ и обратно и рассчитать его с помощью частных уравнений ОТО. Будем считать , что это физическая величина. Проверка должна показать, что с некоторой точностью мы получим хорошее совпадение результатов. Теория считает, что при изменении координат, этот результат теоретически не должен измениться.

Если мы рассматриваем задачу о нахождении метрики вне статического шара, то можно ослабить условия связи или не накладывать их вообще, а только оставить условие сферической симметрии и краевые условия. В этом случае, как показал Пенлеве , мы получим решение с 2-мя произвольными функциями от одной переменной (радиальной: $x^1=r$) и постоянной $M.$

$ds^2=(1-2MG/W(r))dt^2-2B(r)drdt-((dW/dr)^2-B^2)/(1-2MG/r)-W(r)^2d{\Omega}^2\quad(10)$

(почему-то переносится выражение)
Эта неопределенность переходит и на уравнения геодезических:

$d^2x^{\sigma}/ds^2+\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}} {ds}\frac{dx^{\beta}} {ds}=0\quad(11)$

К которым добавляются еще постоянные интегрирования. Теперь, чтобы нам рассчитать теоретически время распространения сигнала между двумя объектами, нужны их координаты, а они неизвестны.

И теперь самое интересное: нам нужно откалибровать наше пространство-время вне шара с помощью геодезических (изучение движения пробных тел), и в то же время показать, что теория справедлива. В других теориях такого произвола не было, обычно калибровка производится независимым способом и координаты тел уже известны. То есть на нужно получить, исходя из геодезических, в которых так много произвола , координаты наших объектов A и B. Круг замкнулся.
Теперь, хотелось бы сформулировать теорему примерно так: мы нашли какой-то результат (время распространение между двумя точками) для одного частного решения, то будет ли оно тем же самым для другого при допустимом преобразовании координат ?

$x^i=f^k(x^i). $

Можно даже еще упростить задачу ( пусть Теорема 2), считая $B(r)=0, x^0=x'^0, x^3=x'^3.$ При этом все равно останется достаточно большой произвол при нахождении геодезических: одна функция $W(r)$, постоянная М и 4 координаты точек A и B. То есть можно максимально упростить ситуацию, потребовав, чтобы преобразования координат были чисто пространственные, но проблема останется.

[Munin]

schekn в сообщении #807599 писал(а):

Скажем, мы решили измерить время прохождения света между двумя точками $A (x^0,x^1,x^2,x^3)$ и $B (x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) $ и обратно

Оу. Уже круто.

[schekn]

Munin в сообщении #807606 писал(а):

Оу. Уже круто.

А что по вашему нужно измерять для подтверждение теории?

[Someone]

Утундрий в сообщении #799270 писал(а):

Скажем, мы решили измерить время прохождения света между двумя точками $A (x^0,x^1,x^2,x^3)$ и $B (x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) $ и обратно и рассчитать его с помощью частных уравнений ОТО. Будем считать , что это физическая величина. Проверка должна показать, что с некоторой точностью мы получим хорошее совпадение результатов. Теория считает, что при изменении координат, этот результат теоретически не должен измениться.

Это какая "теория" так считает? Уже в СТО "время прохождения света" существенно зависит от того, в какой системе отсчёта мы его измеряем.

[Munin]

schekn в сообщении #807732 писал(а):

А что по вашему нужно измерять для подтверждение теории?

Для начала, надо не нести бред для подтверждения теории.

Someone
Весь цимес в том, что он уже задал две пространственно-временные точки. Между ними света может вообще не пройти. А он намерен пускать его туда и обратно :-)

[Someone]

Munin в сообщении #807809 писал(а):

две пространственно-временные точки

Вот, даже не обратил внимание.