Придумал себе задачку и не могу решить.

[MacSinus]

Придумал сегодня себе задачку. По механике, вроде простая, но решить не могу. Такое ощущение что хожу вокруг ответа, а не могу точно расписать что да как.

Пусть имеется два невесомых стержня длинами $l$ и $2l$, на концах которых прикреплены шарики массами $m$ (см рис.). Малый стержень одним концом прикреплен к неподвижному шарниру, который может вращаться без трения вокруг вертикально оси (плоскость рисунка - горизонтальная). В месте крепления первого и второго стержня сделан шарнир с моторчиком. Этот шарнир самопроизвольно начинает сгибаться. Какое положение примет система, когда шарнир сложится, т.е. повернется на $180^\circ$?

Вроде должен сохраняться нулевой момент импульса относительно неподвижного шарнира. Но как его связать с начальным и конечным положением - не вижу. Пытался расписывать моменты импульса в произвольный момент времени, приравнять их к нулю, но там такая математика получилась... В общем не добил. А сейчас глаз уже замусолился и не могу по новому взглянуть на задачу. В общем, по возможности, помогите.

[gris]

...

[Oleg Zubelevich]

Задача действительно тривиальная, и действително, надо написать теорему о сохранении кинетического момента относительно неподвижного шарнира. Потом только посчитать кое-что придется.

[MacSinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #806764 писал(а):

Задача действительно тривиальная, и действително, надо написать теорему о сохранении кинетического момента относительно неподвижного шарнира. Потом только посчитать кое-что придется.

Ну и так какой ответ? И почему?

[Oleg Zubelevich]

ответ искать будете вы. если хотите что бы я помог расставьте букафки на черотеже в ключевых точках, а то непонятно как объяснять

[MacSinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #807100 писал(а):

ответ искать будете вы. если хотите что бы я помог расставьте букафки на черотеже в ключевых точках, а то непонятно как объяснять

Хочу немного пояснить. С физикой я дружу и относительно неплохо. Но в этой задаче при решении в лоб возникает ситуация типа

$$d\varphi = \frac{a + b\cos \psi}{c+d\cos \psi} d\psi$$

.
Как взять этот интеграл, я сходу даже и не могу. Уже лезу в Градштейну и Рыжику, что меня ну очень смущает, чтобы в такой вроде бы простой с виду задаче встречаются такие интегралы.

Это я все к чему. Прежде чем говорить, что задача тривиальна, стоило бы для начала взять ручку, бумажку, попробовать самому.

-- 28.12.2013, 20:48 --

Да, Градштейн помог таки. Щас все аккуратненько пересчитаю и напишу ответ. Но все равно, хотелось бы услышать решение попроще, что-то мне для себя не верится, что эта задача решается только так.

-- 28.12.2013, 21:08 --

Итак, аккуратно прорешал, получил (угол поворота малого стержня против часовой стрелки от начального положения):

(Оффтоп)

$$ \left(1 + \frac{1}{\sqrt{5}} \right)\frac{\pi}{2} $$

Все так же жду более простого решения, без взятия интегралов.

[Oleg Zubelevich]

задача дейсмтвительно тривиальна, а интеграл легко берется в программе символьных вычислений:

$$\int _{0}^{\pi }\!{\frac {2+\cos \left( x \right) }{3+2\,\cos \left( x \right) }}{dx}=1/10\, \sqrt{5}\pi +1/2\,\pi$$

MacSinus в сообщении #807257 писал(а):

Прежде чем говорить, что задача тривиальна, стоило бы для начала взять ручку, бумажку, попробовать самому.

ручку и бумажку не надо, у меня на эту задачу ушло 10 минут: http://rghost.net/51267935

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #807276 писал(а):

а интеграл легко берется в программе символьных вычислений

Вот так вот он "помогает"...