Квантовая механика, задача

[Munin]

lemhell в сообщении #806940 писал(а):

Как получилось понятно, посчитал по вашему способу, нашел матрицу. Потом посчитал так, как считал до этого, получилось то же самое

Чё-тта не так. Должна была получиться эрмитова матрица. Все сомножители эрмитовы. Гамильтониан, по определению, тоже эрмитов.

В массивных рутинных действиях легко наделать ошибок и описок. Перепроверяйте.

Собственные векторы - уж точно не те. Должны получиться такие, как я перечислил в post805679.html#p805679 .

lemhell в сообщении #806940 писал(а):

Кстати, что такое $t_0$ и $\Delta{t}$ в той же матрице? $t_0 = 0$?

Они в матрицу не входят. Можете положить $t_0=0.$

А, $\Delta t$ входит в матрицу эволюции. Ну, это я посчитал очевидным, что $\Delta t=t-t_0.$

[lemhell]

Кажется, я понял, что я не понимаю. Вы говорите про период и, кажется, это имеет непосредственное отношение к ответу, а я не могу понять, о чем вы, как это сделать и почему это так.

-- 27.12.2013, 22:53 --

Я пересчитал и у меня получилось, кажется, более похожее: $\lambda_1=3$, $\lambda_{2,3,4}=-1$, матрица перехода из собственных векторов:
$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
Я тоже понял, что про $\Delta{t}$ очевидно, когда отправил вопрос, но на всякий случай не стал убирать.

[Munin]

lemhell в сообщении #806960 писал(а):

Вы говорите про период и, кажется, это имеет непосредственное отношение к ответу, а я не могу понять, о чем вы, как это сделать и почему это так.

Квантовая система находится в состоянии. Это состояние - это вектор, в 4-мерном пространстве. Единичной длины. Комплексный.

Когда мы запускаем эволюцию квантовой системы со временем, вида $e^{-iHt/\hbar},$ то начальное состояние начинает поворачиваться, оставаясь на единичной сфере. Оно выписывает какие-то завитушки. Вопрос задачи - когда оно вернётся в начальное состояние. Это и будет период движения.

...

А, нет, вопрос задачи другой! Надо найти вероятность того, что в произвольный момент времени систему можно будет (измерением) найти в начальном состоянии. Это - проекция одного вектора на другой. Нового на старый. Точнее, квадрат модуля такой проекции, чтобы вероятность получить.

Да, получается, я сбился с точной формулировки задачи, пока мы подготовительными работами занимались. Извините. Но всё, что мы сделали, можно использовать и для вычисления одного, и для вычисления другого.

Потом надо будет просто найти $\omega(t)=\bigl|\langle\Psi(t)|\Psi(t_0)\rangle\bigr|^2,$ где

$$\langle\Psi(t)|\Psi(t_0)\rangle=\begin{pmatrix}C_1(t)\\C_2(t)\\C_3(t)\\C_4(t)\end{pmatrix}^\dagger\begin{pmatrix}C_1(t_0)\\C_2(t_0)\\C_3(t_0)\\C_4(t_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_1^*(t)\,\,C_2^*(t)\,\,C_3^*(t)\,\,C_4^*(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1(t_0)\\C_2(t_0)\\C_3(t_0)\\C_4(t_0)\end{pmatrix}.$$

lemhell в сообщении #806960 писал(а):

Я пересчитал и у меня получилось, кажется, более похожее: $\lambda_1=3$, $\lambda_{2,3,4}=-1$, матрица перехода из собственных векторов:
$\ldots$

Да, вот это всё уже похоже на правду. Лямбды правильные, собственные векторы - столбцы несколько не в порядке, и первая и последняя строки не отнормированы, а так правильно.

[lemhell]

Вот это как раз не понимаю. У нас $C_i(t) = e^{\frac{-iE_it}{\hbar}}C_i(0)$, где $E_i = \lambda_i$. А где нам взять эти $C_i$? Насколько я понял, эти $C_i$ отвечают как раз за эти состояния. Почему мы в этой проекции умножаем все на все? Ведь у нас какое-то конкретное состояние. Или у нас $C_2 = 1$, а $C_{(i\neq2)} = 0$?

[warlock66613]

lemhell в сообщении #806993 писал(а):

А где нам взять эти $C_i$?

$C_i$ - это коэфиициенты разложения состояния по собственным состояниям гамильтониана. В частности, $C_i(0)$ - это коэффициенты разложения начального состояния (дано в условии) по собственным состояниям гамильтониана. Эти коэффициенты одинаковы в любом представлении, но в представлении энергии их найти проще: это просто элементы вектор-столбца соответствующего состояния.

[Munin]

lemhell в сообщении #806993 писал(а):

А где нам взять эти $C_i$?

Ну как же, мы их переводим из изначального базиса, в котором у нас задан известный вектор $(0,1,0,0)^{\mathrm{T}}.$

lemhell в сообщении #806993 писал(а):

Почему мы в этой проекции умножаем все на все?

Мы умножаем старое состояние на новое. Потому что система перешла в новое состояние. А нам нужна вероятность обнаружить её в старом состоянии. То есть, произойдёт какое-то измерение каким-то прибором, который умеет отличать старое состояние от ортогональных ему. Это измерение даёт вероятности попасть в старое состояние и в ортогональные ему, которые даются проекциями измеряемого состояния на базисные - то есть, в нашем случае нового на старое. Проекции - комплексные амплитуды, а для вероятностей их надо замодулить и заквадратить.

lemhell в сообщении #806993 писал(а):

Или у нас $C_2 = 1$, а $C_{(i\neq2)} = 0$?

В базисе $1,2,3,4$ - да, это так. Но вам надо перейти к новому базису. (Буква $i$ без уточнений неудобна: то ли $i=1,2,3,4,$ то ли $i=a,b,c,d.$)

И второе. Это коэффициенты только в момент времени $t_0=0.$ Но они зависят от времени, и в другой момент времени они будут другими. Именно эти другие вам и нужны, для второго сомножителя.

[lemhell]

Ну так эти другие как раз подчиняются уравнению $C_n(t) = e^{\frac{-iE_nT}{\hbar}}C_n(0)$?
Если у нас матрица перехода $T = \frac12\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, То $\begin{pmatrix} C_1^{new} \\ C_2^{new} \\ C_3^{new} \\ C_4^{new} \end{pmatrix} = T \cdot \begin{pmatrix} C_1^{old} \\ C_2^{old} \\ C_3^{old} \\ C_4^{old} \end{pmatrix}$ ?

[Munin]

Что вы обозначаете индексами $new$ и $old$? Я предложил обозначения, которые, как мне кажется, понятны. Индексы $1,2,3,4$ (вслед за вами) в старом базисе (представление спинов частиц), индексы $a,b,c,d$ - в новом базисе (представление энергии). Аргумент $(t_0)$ - начальное состояние, аргумент $(t)$ - состояние в последующий момент времени.

[Alex-Yu]

lemhell в сообщении #806164 писал(а):

Где можно почитать или что нужно сделать, чтоб получить эти матрицы 4х4? Или просто в правый нижний квадрат вставить такую же? Я не понимаю.

Давайте я попробую объяснить. Может (но не факт) у меня проще получится. Для начала нужно выбрать набор векторов. Можно почти как угодно, например так:

$$ |\uparrow \uparrow \rangle =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \, , $$

$$ |\uparrow \downarrow \rangle =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \, , $$

$$ |\downarrow \uparrow \rangle =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \, , $$

$$ |\downarrow \downarrow \rangle =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \, . $$

Далее определяем, как операторы Паули (первый спин и второй спин отдельно) действуют на эти векторы. При этом считаем, что операторы Паули с индексом единичка действуют только на правый спин в кет-скобке, а с индексом двойка -- только на левый (можно и наоборот, это как больше нравится, но только всегда одинаково).

z-операторы Паули вектор по существу не меняют, только умножают на 1 если спин вверх и на -1 если спин вниз. Тогда получается:

$$ \sigma_z^{(1)}|\uparrow \uparrow \rangle =\sigma_z^{(1)}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \, . $$

Т.к. здесь правый спин, на который действует оператор, торчит вверх.

$$ \sigma_z^{(1)}|\uparrow \downarrow \rangle =\sigma_z^{(1)}\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \, . $$

То же самое, но теперь "наш" (точнее этого, первого, оператора) спин торчит вниз. Думаю ясно, как определить действие этого оператора и на остальные два состояния. Нужно лишь точно так же смотреть куда в них торчит "наш" спин.

Для второго z-оператора $\sigma_z^{(2)}$ все точно также, только смотреть теперь нужно не на правый (первый) спин, а на левый (второй).

С остальными матрицами немного сложнее, но тоже, надеюсь, понятно. Там вектор будет не прост о умножаться на число, но еще и заменяться на другой (причем понятно какой в данном базисе: просто не обращайте внимание на "нерабочий" для этого оператора спин, оставляйте его как был).

Получив результат действия всех операторов $\sigma^{(1)}_z\,$, $\sigma^{(1)}_y\,$, $\sigma^{(1)}_x\,$, $\sigma^{(2)}_z\,$, $\sigma^{(2)}_y\,$, $\sigma^{(2)}_x\,$ на базисные векторы (см. выше) можно найти и результат действия на эти векторы операторов $\sigma_i^{(2)}\sigma_j^{(1)}\,$. Просто подействуйте сначала одним оператором, а потом --- другим. А дальше и вообще делать нечего: скалярное произведение двух векторв-столбцов --- это тривиально.

[lemhell]

Alex-Yu
Благодарю за объяснение.

Munin
Простите, что попытался ввести вас в заблуждение. $old$ это $1, 2, 3, 4$; $new$ - $a, b, c, d$.

[Munin]

lemhell в сообщении #810167 писал(а):

Простите, что попытался ввести вас в заблуждение.

Да не пытались. Просто невнятно выразились.

Да, уравнение эволюции будет такое, для коэффициентов "new".
Матрица перехода у вас всё ещё записана не совсем правильно, порядок столбцов надо выставить в том порядке, в котором 1, 2, 3, 4 соответствуют $\left|\uparrow\uparrow\rangle,\left|\uparrow\downarrow\rangle,\left|\downarrow\uparrow\rangle,\left|\downarrow\downarrow\rangle.$

Кстати, заметил у себя в старом сообщении опечатку, исправил.