Sasha Rybak писал(а):
По-моему, монотонность в задаче 5 доказать гораздо труднее, чем сходимость к 0.
О-оп-с, я посчитал, что понятно написал. Или Вы не об этом?
На всякий случай давайте подробно для рекуррентности

, где

монотонно сходится к

.
Отбрасывая, если надо конечное число номеров, мы можем считать, что

для всех

, а следовательно и

.
Докажем, что

монотонна, начиная с некоторого места.
Пусть

возрастающая. Если существует номер

для которого

, то это база индукции для утверждения
«

возрастает, начиная с

».
Индуктивный переход: если

, то

.
Если же такого номера не существует, то

для всех

, то есть

убывающая.
Аналогично, если

убывает и есть база индукции для утверждения «

убывает, начиная с

». то это утверждение доказуемо по индукции, а в случае отсутствия базы

возрастающая.
Добавлено спустя 7 минут 39 секунд:
Пока писал и редактировал (да ещё и не в тот форум для просмотра закидывал

)
TOTAL вклинился.
Согласен, если отправить в игнор монотонность

, то задача станет просто тяжёлой и совсем не олимпиадной.