Исследовать интеграл на сходимость

[Jekyll]

Помогите исследовать сходимость

$$\int {\int{ \frac {(2 + \sin xy)} { (x^2 -xy + y^2)} dxdy}}$$

в области

$$x^2 + y^2 \leq 1$$

. Никогда раньше не исследовал двойные интегралы, поэтому даже не знаю с чего начать...

[Oleg Zubelevich]

с полярных координат

[Jekyll]

Отлично. Сделал замену.

$$x = r \cos \varphi \ y = r \sin \varphi$$

Получил примерно следующее

$$\int { \int { \frac { 2 + \sin ({ \frac{r^2} {2} \sin{2\varphi}}) } {r(1 - \frac {\sin {2\varphi}} {2} )} } }drd{\varphi}$$

правда уже по области

$$ 0 \leq r \leq 1 $$ $$0 \leq \varphi \leq 2\pi$$

Как действовать дальше?

[ewert]

Функция положительна, и синус можно гордо проигнорировать (он не влияет принципиально на величину числителя). Далее, при подходящем выборе констант знаменатель можно оценить как в одну сторону: $x^2-xy+y^2\leqslant C_1(x^2+y^2)$, так и в обратную: $x^2-xy+y^2\geqslant C_2(x^2+y^2)$. Одно из этих неравенств позволило бы доказать сходимость, другое -- расходимость. Вот и прикиньте: сходится или нет интеграл с просто $x^2+y^2$ в знаменателе?...

[Jekyll]

Интеграл просто с $x^2 + y^2$ в знаменателе расходится. Это я понял после перехода в полярные координаты. Не понял только момент перехода от $ x^2 - xy + y^2 $ к $ x^2 + y^2 $.

[bot]

В подходящих координатах (поворот + растяжение) положительно определённая квадратичная форма является суммой квадратов с коэффициентами 1.