2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 15:18 
Помогите исследовать сходимость
$$\int {\int{ \frac {(2 + \sin xy)} { (x^2 -xy + y^2)} dxdy}}$$

в области $$x^2 + y^2 \leq 1$$ . Никогда раньше не исследовал двойные интегралы, поэтому даже не знаю с чего начать...

 
 
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 15:20 
с полярных координат

 
 
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 15:46 
Отлично. Сделал замену. $$x = r \cos \varphi \ y = r \sin \varphi$$
Получил примерно следующее
$$\int { \int { \frac { 2 + \sin ({ \frac{r^2} {2} \sin{2\varphi}}) } {r(1 - \frac {\sin {2\varphi}} {2} )} } }drd{\varphi}$$
правда уже по области
$$ 0 \leq r \leq 1 $$ 
$$0 \leq \varphi \leq 2\pi$$
Как действовать дальше?

 
 
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 15:54 
Функция положительна, и синус можно гордо проигнорировать (он не влияет принципиально на величину числителя). Далее, при подходящем выборе констант знаменатель можно оценить как в одну сторону: $x^2-xy+y^2\leqslant C_1(x^2+y^2)$, так и в обратную: $x^2-xy+y^2\geqslant C_2(x^2+y^2)$. Одно из этих неравенств позволило бы доказать сходимость, другое -- расходимость. Вот и прикиньте: сходится или нет интеграл с просто $x^2+y^2$ в знаменателе?...

 
 
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 16:16 
Интеграл просто с $x^2 + y^2$ в знаменателе расходится. Это я понял после перехода в полярные координаты. Не понял только момент перехода от $ x^2 - xy + y^2 $ к $ x^2 + y^2 $.

 
 
 
 Re: Исследовать интеграл на сходимость
Сообщение27.12.2013, 16:53 
Аватара пользователя
В подходящих координатах (поворот + растяжение) положительно определённая квадратичная форма является суммой квадратов с коэффициентами 1.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group