Значение функции в точке, где ошибка?

[Ktina]

Функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ является непрерывной и удовлетворяет следующим условиям:

$$ \begin{cases} f(1000)=999 \\ f(x)f(f(x))\equiv 1 \end{cases} $$

Найти $f(500)$.

Мне кажется, что если наша функция принимает некоторое вещественное значение $a$, то $f(a)=\dfrac{1}{a}$, это следует из условия задачи.
Также дано, что функция принимает значение 999. Значит $f(999)=\dfrac{1}{999}$.
А поскольку наша функция непрерывна, она принимает также все промежуточные значения между $\dfrac{1}{999}$ и 999, а значит, и значение, равное 500, откуда немедленно следует $f(500)=\dfrac{1}{500}$

Где ошибка?
И есть ли такая функция?

[Urnwestek]

Ну вроде всё нормально.
Есть же, вы почти что сами указали способ её построения, $f \equiv \frac{1}{x}$ на отрезке $[\frac{1}{999},999]$ на отрезке $[999,1000]$ склеить прямой проходящей через точки $(999,\frac{1}{999}), (1000,999)$ тобишь $f \equiv (x-999)(999-\frac{1}{999})+\frac{1}{999}$, а на оставшихся промежутках что попало, лишь бы непрерывность сохранить, допустим на $[1000,+\infty)$ $f \equiv 999$ и на $(-\infty,1]$ $f \equiv \frac{1}{999}$.

[Ktina]

Urnwestek в сообщении #806741 писал(а):

... , а на оставшихся промежутках что попало, лишь бы непрерывность сохранить, допустим на $[1000,+\infty)$ $f \equiv 999$ и на $(-\infty,1]$ $f \equiv 1$.

А разве не $f(\dfrac{1}{999})=999$?

[Urnwestek]

Ktina в сообщении #806742 писал(а):

А разве не $f(\dfrac{1}{999})=999$?

Да, лажанул слегка, исправился. (:

[Ktina]

Urnwestek
Спасибо!