Нарушение закона сохранения энергии

[Sicker]

Куда девается энергия при интерференции? Допустим летят навстречу друг другу две волны, и из за разности фаз гасят друг друга-куда делать энергия?
Или складываем два луча от одного источника, которые мы сдвинули по фазе на половину периода, они загасят друг друга, а куда денется энергия?

-- 26.12.2013, 16:20 --

Обычно в механике объясняли как "ушло в тепло", но фотоны же не могут нагреваться

-- 26.12.2013, 16:22 --

И еще вопрос- пусть в вакууме распространяется монохроматическая волна конечной длины, и тогда разность фаз между ее началом и концом постоянна, но если мы посчитаем ее энергию в разные моменты времени как интеграл от квадрата напряженности, но она будет различной для разных моментов времени
как так?

[Toucan]

Sicker, Ваш первый вопрос достаточно подробно обсуждался здесь: «Куда девается энергия при интерференции?»

[Sicker]

хорошо а что на второй вопрос?

-- 26.12.2013, 18:38 --

и правильно ли я понял что ответ на первый- мы не может совместить два луча чисто из за технических деталей( приходится использовать всякие зеркала и преломляющие поверхности) и на фундамельном уровней энергия уходит в пустоту?

[Munin]

Sicker в сообщении #806400 писал(а):

но если мы посчитаем ее энергию в разные моменты времени как интеграл от квадрата напряженности, но она будет различной для разных моментов времени

Почему это вдруг?

[Sicker]

Munin в сообщении #806526 писал(а):

Sicker в сообщении #806400 писал(а):

но если мы посчитаем ее энергию в разные моменты времени как интеграл от квадрата напряженности, но она будет различной для разных моментов времени

Почему это вдруг?

ну смотрите, если мы возьмем волну конечной длины, у которой фазы в начале и конце не равны, то при бесконечном малом перемещении энергия этой волны измениться на +амплитуда в квадрате передней части(появившейся), минус амплитуда в квадрате в задней(которая исчезла), разумеется все это помноженной на бесконечно малую величину
видно что квадраты не равны между собой и за бесконечно малый промежуток времени будет бесконечно малое изменение энергии волны(все одного порядка конечно же)

[zer0]

Не бывает монохроматической конечной волны. Монохроматическая волна - идеализация.

[Munin]

Sicker в сообщении #806605 писал(а):

ну смотрите, если мы возьмем волну конечной длины

Стоп, стоп, стоп. Если вы берёте монохроматическую волну, и обрезаете её по времени, то она перестаёт быть монохроматической. Вместо одной частоты $\omega_0,$ она начинает занимать целый диапазон частот $\sim\omega_0\pm\Delta\omega/2,$ где $\Delta\omega=2\pi/\Delta t$ - определяется длительностью вырезанного импульса. Это всё свойства преобразования Фурье, которое даёт спектральный состав любого переменного сигнала. Такая волна, "обрезанная по времени", называется волновым пакетом. Она более реалистична, чем монохроматическая волна, но изучать её несколько сложнее, и поэтому вначале в учебниках идёт монохроматическая волна.

Таким образом, монохроматическая волна бесконечна по времени, и более того, абсолютно однородна по времени.

Sicker в сообщении #806605 писал(а):

при бесконечном малом перемещении энергия этой волны измениться на +амплитуда в квадрате передней части(появившейся), минус амплитуда в квадрате в задней(которая исчезла), разумеется все это помноженной на бесконечно малую величину

Если посчитать все изменения энергии, то для бегущей волны они в точности равны нулю, и для монохроматической, и для не монохроматической - для любой формы. (Но, для уравнений волн, которые не учитывают потерь энергии - например, звук, проходя через среду, нагревает её, и точное уравнение учитывает соответствующее уменьшение энергии волны.) Волны подчиняются закону сохранения энергии, как и все другие явления.

Ещё у меня смутное ощущение, что вы вообще не представляете себе, как бежит волна. Нарисуйте, пожалуйста, плоскость $(x,t),$ и отметьте на ней область, где волна ненулевая, и пометьте в разных точках, где какие фазы. А я вам покажу, как перемещается энергия.

[Sicker]

Цитата:

Стоп, стоп, стоп. Если вы берёте монохроматическую волну, и обрезаете её по времени, то она перестаёт быть монохроматической. Вместо одной частоты $\omega_0,$ она начинает занимать целый диапазон частот $\sim\omega_0\pm\Delta\omega/2,$ где $\Delta\omega=2\pi/\Delta t$ - определяется длительностью вырезанного импульса. Это всё свойства преобразования Фурье, которое даёт спектральный состав любого переменного сигнала. Такая волна, "обрезанная по времени", называется волновым пакетом. Она более реалистична, чем монохроматическая волна, но изучать её несколько сложнее, и поэтому вначале в учебниках идёт монохроматическая волна.

аа ясно!

Цитата:

Если посчитать все изменения энергии, то для бегущей волны они в точности равны нулю, и для монохроматической, и для не монохроматической - для любой формы. (Но, для уравнений волн, которые не учитывают потерь энергии - например, звук, проходя через среду, нагревает её, и точное уравнение учитывает соответствующее уменьшение энергии волны.) Волны подчиняются закону сохранения энергии, как и все другие явления.

Ещё у меня смутное ощущение, что вы вообще не представляете себе, как бежит волна. Нарисуйте, пожалуйста, плоскость $(x,t),$ и отметьте на ней область, где волна ненулевая, и пометьте в разных точках, где какие фазы. А я вам покажу, как перемещается энергия.[/quote]
вот-

[Munin]

Хорошо, рисунок правильный. Теперь подумайте, а как же, в соответствии с этим рисунком, будет

Sicker в сообщении #806605 писал(а):

при бесконечном малом перемещении энергия этой волны измениться на +амплитуда в квадрате передней части(появившейся), минус амплитуда в квадрате в задней(которая исчезла)

? Разве не видно, что энергия изменится ещё и на изменение амплитуды по всей длине волны?

Подсказываю окончательный ответ: энергия движется вдоль нарисованных вами линий равных фаз. Никуда из волны не девается.

(Уточнение: это верно для волн без дисперсии, таких как электромагнитная волна в вакууме. Для волн с дисперсией (свет в веществе, волны на воде, волны Де Бройля квантовых частиц) групповая и фазовая скорости не совпадают, и картина более сложная. Фазовая скорость волны - это скорость движения отдельных гребней волн, а групповая скорость волны - это скорость движения всего волнового пакета в целом. Но в целом, энергия из волнового пакета тоже никуда не девается, что часто (но не вполне аккуратно) называют "энергия движется с групповой скоростью".)

[Sicker]

а все разобрался

[Munin]

Отлично. Когда будете проходить волновые уравнения, вспомните ещё раз эту тему.

[Sicker]

Цитата:

Если вы берёте монохроматическую волну, и обрезаете её по времени, то она перестаёт быть монохроматической. Вместо одной частоты $\omega_0,$ она начинает занимать целый диапазон частот $\sim\omega_0\pm\Delta\omega/2,$ где $\Delta\omega=2\pi/\Delta t$ - определяется длительностью вырезанного импульса.

Сори за некропостинг, но почему? Мы не можем рассмотреть часть монохроматической волны, которая на обеих своих концах имеет нуль электрической и магнитной составляющей и продолжить нулевое решение на все оставшееся пространство? Ведь из волнового уравнения можно получить такое решение

[Munin]

Можем. Одно но: эта часть уже не будет монохроматической. Вот всё у неё хорошо, и решением волнового уравнения она является. Но вот не монохроматическая она никак.

Тут надо просто хорошо понимать слово "монохроматическая". Это означает, что в спектре у неё есть только одна частота $\omega_0,$ а других частот нет. Если рассмотреть функцию распределения энергии по спектру, то эта функция будет дельта-функцией $E_0\delta(\omega-\omega_0)$: в точке $\omega_0$ она обращается в бесконечность, а во всех других точках равна нулю (такую штуку приходится называть функцией условно, но не буду отвлекать в сторону).

Как у нас получается спектр? Мы берём исходную функцию (амплитуду, а не энергию, хотя это тоже мелочь), и совершаем над ней преобразование Фурье. Преобразование Фурье - это вот такая штука:

$$\mathcal{F}[f(t)](\omega)\equiv\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{i\omega t}\right)^*f(t)dt.$$

По сути, она аналогична формуле разложения вектора по базису $\{\mathbf{e}_{(\mu)}\},$ чтобы найти координаты в этом базисе (ортонормированный базис):

$$\tilde{v}_\mu=(\mathbf{e}_{(\mu)},\mathbf{v})=\sum\limits_{k=1}^{n}(\mathbf{e}_{(\mu)})_k^*\,v_k^{\vphantom{*}}.$$

Таким образом, функция "поворачивается" в абстрактном векторном пространстве функций. Раньше мы рассматривали её как набор координат $f(x)$ (каждому "номеру координаты" $x$ соответствует своё число - "координата вектора" $f(x)$), а теперь мы её рассматриваем как набор координат $\tilde{f}(\omega)$ - в новом базисе. Чтобы понять свойства преобразования Фурье, надо научиться смотреть на функцию как на такой вектор в абстрактном пространстве.

Когда вы обрезаете функцию по времени, что вы, по сути, делаете? Вы зануляете некоторые из координат вектора (те, которые оказываются снаружи от окна обрезания). Но с точки зрения другого базиса, это не зануление координат. Вектор меняется: он проецируется на некоторую плоскость. С точки зрения другого базиса, при этом, наоборот, могут возникать ненулевые координаты на месте нулевых. С точки зрения преобразования Фурье, это выражается в том, что произведение исходной функции на функцию обрезания - перестаёт быть произведением в частотной области:

$$\mathcal{F}[w(t)\cdot f(t)]=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\widetilde{w}(\omega)\ast\tilde{f}(\omega)\equiv\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{w}(\omega-\Omega)\,\tilde{f}(\Omega)\,d\Omega.$$

Эта операция, обозначаемая звёздочкой, называется свёрткой функций, и вычисляется через такой интеграл. По сути, она аналогична чему-то вроде blur-фильтра: мы берём значение одной функции в каждой точке, и заменяем его на размазанную копию второй функции, и потом всё это складываем. И вот именно это со спектром монохроматической волны и происходит: он размазывается по частотам, и получается, что в одной волне есть много частот (цветов), и поэтому она уже не монохроматическая.

Я не буду давать технические детали и вычисления, которые можно прочитать в учебнике или в справочнике (вообще-то, нужно прочитать в учебнике, если вы хотите разбираться в уравнениях математической физики, и в физике вообще), но результат такой (списываю из Википедии): если исходная волна была

$$f(t)=e^{i\omega_0 t}\operatorname{rect}(t/\Delta t)\equiv e^{i\omega_0 t}\theta(t+\Delta t/2)\theta(-t+\Delta t/2),$$

то её преобразование Фурье будет иметь вид:

$$\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega-\omega_0)\ast\dfrac{\Delta t}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{\sin(\omega\,\Delta t/2)}{\omega\,\Delta t/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,\dfrac{\sin\bigl((\omega-\omega_0)\Delta t/2\bigr)}{\omega-\omega_0}.$$

Выглядит эта функция так:


И её характерная ширина как раз $2\pi/\Delta t$ - более точно, именно на таком расстоянии от центра главного пика она принимает первый нуль.

Последнее замечание, что это всё касалось амплитуды волны, а интенсивность волны - соответственно, будет пропорциональна квадрату. Таким образом, получаем

[Sicker]

Ясно, те все дело в определении монохроматической волны(она по определению должна быть бесконечной и однородной)
А вот такая обрезанная "монохроматическая" волна будет представлять собой сумму "настоящих" монохроматических волн разных частот

[Munin]

Sicker в сообщении #849050 писал(а):

Ясно, те все дело в определении монохроматической волны(она по определению должна быть бесконечной и однородной)

Нет, монохроматичность - это характеристика, относящаяся ко времени :-) А в пространстве говорят о других параметрах, например, плоская волна.

Хотя тут эти вещи близко соприкасаются. В свободном пространстве у света соблюдается закон дисперсии $\omega=c|\mathbf{k}|=ck.$ Но скажем, в резонаторе можно сделать монохроматическую волну, которая будет конечной и неоднородной :-)

Sicker в сообщении #849050 писал(а):

А вот такая обрезанная "монохроматическая" волна будет представлять собой сумму "настоящих" монохроматических волн разных частот

Да.