Можем. Одно но: эта часть уже не будет
монохроматической. Вот всё у неё хорошо, и решением волнового уравнения она является. Но вот не монохроматическая она никак.
Тут надо просто хорошо понимать слово "монохроматическая". Это означает, что в спектре у неё есть только одна частота
![$\omega_0,$ $\omega_0,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/7/9c79f2ba98321a0d57bffc0b7e93eeff82.png)
а других частот нет. Если рассмотреть функцию распределения энергии по спектру, то эта функция будет дельта-функцией
![$E_0\delta(\omega-\omega_0)$ $E_0\delta(\omega-\omega_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/0/760fe2b896fbbbbdaaf7ddad3301267282.png)
: в точке
![$\omega_0$ $\omega_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/7/747fe3195e03356f846880df2514b93e82.png)
она обращается в бесконечность, а во всех других точках равна нулю (такую штуку приходится называть функцией условно, но не буду отвлекать в сторону).
Как у нас получается спектр? Мы берём исходную функцию (амплитуду, а не энергию, хотя это тоже мелочь), и совершаем над ней преобразование Фурье. Преобразование Фурье - это вот такая штука:
![$$\mathcal{F}[f(t)](\omega)\equiv\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{i\omega t}\right)^*f(t)dt.$$ $$\mathcal{F}[f(t)](\omega)\equiv\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{i\omega t}\right)^*f(t)dt.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/095c545e40e3e44d7326d7f5f217bf9082.png)
По сути, она аналогична формуле разложения вектора по базису
![$\{\mathbf{e}_{(\mu)}\},$ $\{\mathbf{e}_{(\mu)}\},$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/0/4d006854e99e8dd41cb9bf46c2e94c8082.png)
чтобы найти координаты в этом базисе (ортонормированный базис):
![$$\tilde{v}_\mu=(\mathbf{e}_{(\mu)},\mathbf{v})=\sum\limits_{k=1}^{n}(\mathbf{e}_{(\mu)})_k^*\,v_k^{\vphantom{*}}.$$ $$\tilde{v}_\mu=(\mathbf{e}_{(\mu)},\mathbf{v})=\sum\limits_{k=1}^{n}(\mathbf{e}_{(\mu)})_k^*\,v_k^{\vphantom{*}}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/f/1cff953d512ad3b24c30340adc4b49ee82.png)
Таким образом, функция "поворачивается" в абстрактном векторном пространстве функций. Раньше мы рассматривали её как набор координат
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
(каждому "номеру координаты"
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
соответствует своё число - "координата вектора"
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
), а теперь мы её рассматриваем как набор координат
![$\tilde{f}(\omega)$ $\tilde{f}(\omega)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/1/be1a2996b6a74853e9b8c138fbd36f0b82.png)
- в новом базисе. Чтобы понять свойства преобразования Фурье, надо научиться смотреть на функцию как на такой вектор в абстрактном пространстве.
Когда вы обрезаете функцию по времени, что вы, по сути, делаете? Вы зануляете некоторые из координат вектора (те, которые оказываются снаружи от окна обрезания). Но с точки зрения другого базиса, это не зануление координат. Вектор меняется: он проецируется на некоторую плоскость. С точки зрения другого базиса, при этом, наоборот,
могут возникать ненулевые координаты на месте нулевых. С точки зрения преобразования Фурье, это выражается в том, что произведение исходной функции на функцию обрезания - перестаёт быть произведением в частотной области:
![$$\mathcal{F}[w(t)\cdot f(t)]=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\widetilde{w}(\omega)\ast\tilde{f}(\omega)\equiv\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{w}(\omega-\Omega)\,\tilde{f}(\Omega)\,d\Omega.$$ $$\mathcal{F}[w(t)\cdot f(t)]=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\widetilde{w}(\omega)\ast\tilde{f}(\omega)\equiv\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{w}(\omega-\Omega)\,\tilde{f}(\Omega)\,d\Omega.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/c/7ece9b094e5077ca2c9ebb4830d8577982.png)
Эта операция, обозначаемая звёздочкой, называется
свёрткой функций, и вычисляется через такой интеграл. По сути, она аналогична чему-то вроде blur-фильтра: мы берём значение одной функции в каждой точке, и заменяем его на размазанную копию второй функции, и потом всё это складываем. И вот именно это со спектром монохроматической волны и происходит: он размазывается по частотам, и получается, что в одной волне есть много частот (цветов), и поэтому она уже не монохроматическая.
Я не буду давать технические детали и вычисления, которые можно прочитать в учебнике или в справочнике (вообще-то,
нужно прочитать в учебнике, если вы хотите разбираться в уравнениях математической физики, и в физике вообще), но результат такой (списываю из Википедии): если исходная волна была
![$$f(t)=e^{i\omega_0 t}\operatorname{rect}(t/\Delta t)\equiv e^{i\omega_0 t}\theta(t+\Delta t/2)\theta(-t+\Delta t/2),$$ $$f(t)=e^{i\omega_0 t}\operatorname{rect}(t/\Delta t)\equiv e^{i\omega_0 t}\theta(t+\Delta t/2)\theta(-t+\Delta t/2),$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/e/7eec3e5695696723f4e44adc69c5790c82.png)
то её преобразование Фурье будет иметь вид:
![$$\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega-\omega_0)\ast\dfrac{\Delta t}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{\sin(\omega\,\Delta t/2)}{\omega\,\Delta t/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,\dfrac{\sin\bigl((\omega-\omega_0)\Delta t/2\bigr)}{\omega-\omega_0}.$$ $$\tilde{f}(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt{2\pi}\,\delta(\omega-\omega_0)\ast\dfrac{\Delta t}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{\sin(\omega\,\Delta t/2)}{\omega\,\Delta t/2}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,\dfrac{\sin\bigl((\omega-\omega_0)\Delta t/2\bigr)}{\omega-\omega_0}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/4/2b4f4c643c93eddd58108a8c12627c1582.png)
Выглядит эта функция так:
![Изображение](http://s7.postimg.org/4dqwl3cwr/Wolfram_Alpha_plot_sinc_xx_42pi42pi_2014_04_12.gif)
И её характерная ширина как раз
![$2\pi/\Delta t$ $2\pi/\Delta t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bdc206d811f6e95840ef8592e99301782.png)
- более точно, именно на таком расстоянии от центра главного пика она принимает первый нуль.
Последнее замечание, что это всё касалось амплитуды волны, а интенсивность волны - соответственно, будет пропорциональна квадрату. Таким образом, получаем
![Изображение](http://s29.postimg.org/ecb4exh1j/Wolfram_Alpha_plot_ysinc_x2x_42pi42piy_024104_2.gif)