дифференциальное уравнение

[loshka]

Здравствуйте! Пытаюсь решить такое дифф уравнение, сижу мучаюсь уже несколько часов

$y^2(y'y'''-2(y')^2)=(y')^4$

Вот мои результаты на текущей момент, заметил что уравнение однородное делаю замены
$y'=yp$ где P функция от x
Дифференцирую равенство до $y'''$ и подставляю в уравнение, после преобразований получаю следующее

$2p^4+p^2p'+pp''-2(p')^2=0$

делаю замену p'=z Где z функция от p
Получаю уравнение первого порядка

$2p^4+zp^2+pz'-2z^2=0$

И никак не могу его решить, подкиньте идеи пожалуйста, забил в вольфрам, выдал ответ на 7 строчек, теперь даже страшно неужели у него ответ только в такой форме.

[SpBTimes]

У меня привелось к виду $(z'z)' = 2 + (\frac{z}{y})^2$

[loshka]

а каким путем вы решали? Какие замены?

[SpBTimes]

$y' = z(y)$

[loshka]

блин((( я дурак неправильно написал уравнение с нервов, там будет
$y^2(y'y'''-2(y'')^2)=(y')^4$

Извините меня и очень прошу помощи, уже 5 час сижу мучаюсь

[SpBTimes]

Замена та же. Получите:
$(\frac{z'}{z})' = \frac{1}{y^2}$
Производная по игрек.

[loshka]

так не получится, потомy что то там $-2(z')^2$

[SpBTimes]

Там сокращается кусок, посчитайте же, или приведите выкладки

[loshka]

$y^2(zz''-2(z')^2)=z^4$
$(zz''-2(z')^2)/z^4=1/y^2$
Как тут можно сократить?
я понимаю можно так сделать
$(z'/z^2)'=1/y^2z $ но это мало что дает
а если посчитать производную как вы написали то получается
$(z''z-(z')^2)/z^2=1/y^2$ что отличается от данного уравнения

[SpBTimes]

Эмм. $y' = z(y)$. Найдите $y''$

[loshka]

как-то я совсем запутался. Напишу все по порядку
$y'=z(y)$
$y''=z'y$
$y'''=z''y+z'$
Подставляем:
$y^2(z(z''y+z')-2(z'y)^2)=z^4$
$(zz''y+z'z-2(z'y)^2)/z^4=1/y^2$
А дальше я в уныние, подскажите как у Вас сократилась часть?

[Ms-dos4]

А вот в дифференцировании и ошибка.
Пусть $\[\frac{{dy}}{{dx}} = z(y)\]$
Тогда $\[\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{dz}}{{dy}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}} = z' \cdot z\]$

[SpBTimes]

Подумайте снова над $y''$. Заметьте, производная берется по иксу.

-- Чт дек 26, 2013 21:10:21 --

Ms-dos4
Ну вот зачем

[loshka]

Эм, как-то я запутался, z функция от y, почему дифференцируем по х?
И тогда я правильно понимаю если дифференцируем по х то
$y'''=z''z^2+z(z')^2$

[SpBTimes]

Ну игрек же по $x$ дифференцируем.

loshka в сообщении #806615 писал(а):

И тогда я правильно понимаю

Правильно. Теперь придете к нормальному результату