Задача максимизации следа диагональной матрицы

[terricola]

Допустим, имеется эрмитова матрица $\bf A_0$, на главной диагонали которой расположены нули. Необходимо найти действительнозначную диагональную матрицу $\bf X = \operatorname{diag}(\bf x)$ c максимальным следом при условии $\det(\bf A_0 + X) = 0$.
Т.е. формально:

$$ \bf{X}_{opt} = \arg\max\operatorname{tr}(\bf X),\; \bf{X} = \operatorname{diag}(\bf x),\; \bf{x}\in \mathbb{R}, \; s.t.\; \det(\bf A_0 + \operatorname{diag}(\bf x)) = 0 $$

[svv]

Я буду говорить только о случае вещественной матрицы $A_0$.

Я думаю, здесь возможностей для маневров столько, что в общей ситуации можно получить как угодно большой след.
В качестве $X$ возьмем диагональную матрицу, у которой первые два диагональных элемента равны $x$ и $y$, а остальные произвольные фиксированные.
Тогда $\det(A_0 + X)$ будет полиномом относительно $x$ и $y$:
$\det(A_0 + X)=axy+bx+cy+d$
Приравнивая это к нулю, найдем
$y=-\frac{bx+d}{ax+c}$
Теперь можно взять очень большое $x$, при этом $y$ стремится к $-\frac b a$, и след будет как угодно большим, при том, что определитель нулевой.