Я буду говорить только о случае вещественной матрицы

.
Я думаю, здесь возможностей для маневров столько, что в общей ситуации можно получить как угодно большой след.
В качестве

возьмем диагональную матрицу, у которой первые два диагональных элемента равны

и

, а остальные произвольные фиксированные.
Тогда

будет полиномом относительно

и

:

Приравнивая это к нулю, найдем

Теперь можно взять очень большое

, при этом

стремится к

, и след будет как угодно большим, при том, что определитель нулевой.