Ассимптотическое равенство сложных функций

[heliar]

Даны две вещественные функции: f(x), g(x), f(x) \sim g(x) при x \rightarrow x_0, и вещественная непрерывная функция h(x).
Будут ли ассимптотически равны функции h(f(x)) и h(g(x))?

В случае непрерывных f(x) и g(x) утсверждение доказывается весьма просто: \lim_{x \to x_0}\frac{h(g(x))}{h(f(x))} = \frac{\lim_{x \to x_0}h(g(x))}{\lim_{x \to x_0}h(f(x))}= \frac{\lim_{x \to x_0}h(\frac{g(x)}{f(x)}f(x))}{\lim_{x \to x_0}h(f(x))} = \frac{h(\lim_{x \to x_0}(\frac{g(x)}{f(x)}f(x)))}{h(f(x))} = 1

А как действовать, если f(x) и g(x) разрывны? Контрпримеров я придумать не смог.

[Urnwestek]

Что-то либо меня опять глючит, либо это неверно даже в случае непрерывных.
Пусть:
$f \equiv x^2+x$
$g \equiv x^2$
$h \equiv e^x$
$x_0 = +\infty$

-- 25.12.2013, 22:23 --

Ошибка в док-ве в первом же «равно», кстати, вы неявно пользуетесь тем, что $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$, а это можно делать титтк предел числителя и предел знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от 0.

[provincialka]

Urnwestek в сообщении #806204 писал(а):

то-то либо меня опять глючит, либо это неверно даже в случае непрерывных.

Думаю, автор все же имел в виду непрерывность в точке $a=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$, а в вашем примере это $+\infty$. Но доказательство ТС, безусловно, неверное.
Если $h(a)$ не равно $0$ или $\infty$, то утверждение тривиально, так как не содержит неопределенности. В противном случае нужно рассмотреть поведение $h(x)$ в окрестности $a$.
Я в своем время пыталась выявить какой-нибудь класс функций $h$, обладающих таким свойством, но не преуспела.

-- 26.12.2013, 00:51 --

heliar, для правильного изображения предела используйте \lim\limits_{x\to x_0}, получится $\lim\limits_{x\to x_0}$