Помогите решить задачу Коши для волнового уравнения

[myjobisgop]

Всем доброй ночи. Помогите решить такую задачу Коши:

$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + x^3 - 3xy^2$

u\Bigr|_{t=0} = e^x\cos y

u_t\Bigr|_{t=0} = e^y\sin x

Основной вопрос - Как свести эту задачу к одномерному случаю (Чтобы воспользоваться формулой Даламбера)? Нужно ли делать замену какую-нибудь?

[Vince Diesel]

Вопрос более основной - а тут ее можно свести? И есть формула Пуасссона для двухмерного случая. Но тут все данные — гармонические функции, это дает возможность легко выписать решение. Скажем, чему оно будет равно, если $u_t|_{t=0}$ и правая часть равны нулю?

Если нет догадок, что будет для правой части, можно свести задачу к вопросу о решенни с гармоническими начальными данными (принцип Дюамеля).

[myjobisgop]

Vince Diesel
Если я правильно понял принцип Дюамеля, то я должен разбить мою задачу на 2 задачи:

1-я задача:
$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy}$

u\Bigr|_{t=0} = e^x\cos y

u_t\Bigr|_{t=0} = e^y\sin x

и пусть $u_1$ - ее решение

2-я задача:
$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + x^3 - 3xy^2$

u\Bigr|_{t=0} = 0

u_t\Bigr|_{t=0} = 0

и пусть $u_2$ - ее решение

Тогда решение исходной задачи равно $u = u_1 + u_2$

Но мне, честно говоря, не понятно каким способом решать эти две задачи.

[Vince Diesel]

Ну, вот функция удовлетворяет $u_{tt}=\Delta u$, $u|_{t=0}=\varphi$, $u_t|_{t=0}=0$, причем $\Delta \varphi=0$. Нельзя ли просто угадать решение?

[myjobisgop]

Решение в таком случае: $u = \varphi$

А вообще если задано произвольное уравнение $u_{tt}=\Delta u + f$, $u|_{t=0}=\varphi_{1}$, $u_t|_{t=0}=\varphi_{2}$
То рассмотрев 3 задачи:
1) $u_{tt}=\Delta u + f$, $u|_{t=0}=0$, $u_t|_{t=0}=0$, $u_1$ - решение этой задачи

2) $u_{tt}=\Delta u$, $u|_{t=0}=\varphi_{1}$, $u_t|_{t=0}=0$, $u_2$ - решение этой задачи

3) $u_{tt}=\Delta u$, $u|_{t=0}=0$, $u_t|_{t=0}=\varphi_{2}$, $u_3$ - решение этой задачи

Будет ли верно то, что решение исходной задачи равно $u = u_1 + u_2 + u_3$ ?

И второй вопрос. Пример оказался довольно простым, но если бы он был посложнее (например функции не были бы гармоническими), то существуют ли какие-нибудь способы решения (Типа разделения переменных, замены и т.д.) ?

[Felt]

С помощью обобщённых функций

[myjobisgop]

myjobisgop в сообщении #805752 писал(а):

Будет ли верно то, что решение исходной задачи равно $u = u_1 + u_2 + u_3$ ?

Это все таки верно?

[Vince Diesel]

myjobisgop в сообщении #805752 писал(а):

Будет ли верно то, что решение исходной задачи равно $u = u_1 + u_2 + u_3$ ?

Уравнение линейное. Почему бы не подставить и не проверить?

myjobisgop в сообщении #805752 писал(а):

И второй вопрос. Пример оказался довольно простым, но если бы он был посложнее (например функции не были бы гармоническими), то существуют ли какие-нибудь способы решения (Типа разделения переменных, замены и т.д.) ?

Решение задачи Коши выписывается в виде суммы трех потенциалов. Ядро (фундаментальное решение) для разных размерностей свое.

Vince Diesel в сообщении #805726 писал(а):

есть формула Пуасссона для двухмерного случая