Помогите Доказать утверждение из Функ.Анализа

[Hostage]

Формулировка:
$M\subset H, H\ $ - гильбертово пространство.
Доказать, что
$M = (M^{\bot})^{\bot} \Leftrightarrow M$ - подпространство в $H$
Я так понимаю, что на самом деле нужно доказать 2 утверждения:
1)M - замкнуто
2)$(\alpha x + \beta y)\in M,\forall x,y\in M, \forall\alpha,\beta\in\mathbb R$
Но с чего начать не совсем понимаю.

[Oleg Zubelevich]

докажите, что если $M$ -- линейное подпространство (не обязательно замкнутое) то $(M^\bot)^\bot=\overline M$
Используйте стандартный факт: замкнутое подпространство дополняемо.

[Hostage]

Oleg Zubelevich в сообщении #805617 писал(а):

докажите, что если $M$ -- линейное подпространство (не обязательно замкнутое) то $(M^\bot)^\bot=\overline M$
Используйте стандартный факт: замкнутое подпространство дополняемо.

А можно поподробнее? Хотя бы первый шаг.
И что означает этот "стандартный факт"? Я не совсем помню, чтобы где-то его встречал...
Если что заранее извиняюсь, у меня большие проблемы с доказательствами - я постоянно теряюсь и не могу понять с чего начать когда нет какого-то точного алгоритма...

[Oleg Zubelevich]

1) убедитесь, что множество $M^\bot$ замкнуто
2) убедитесь, что $M\subseteq (M^\bot)^\bot$ и следовательно $\overline M\subseteq (M^\bot)^\bot$
3) заметим, что $M\subseteq \overline M$ следовательно $(\overline M)^\bot\subseteq M^\bot$ следовательно $(M^\bot)^\bot \subseteq ((\overline M)^\bot)^\bot$
Теорема. [любой учебник по функану] Пусть $L\subseteq H$ -- замкнутое подпространство тогда $H=L\oplus L^\bot$ Следовательно $((\overline M)^\bot)^\bot=\overline M$

[Hostage]

Oleg Zubelevich в сообщении #805757 писал(а):

1) убедитесь, что множество $M^\bot$ замкнуто
2) убедитесь, что $M\subseteq (M^\bot)^\bot$ и следовательно $\overline M\subseteq (M^\bot)^\bot$
3) заметим, что $M\subseteq \overline M$ следовательно $(\overline M)^\bot\subseteq M^\bot$ следовательно $(M^\bot)^\bot \subseteq ((\overline M)^\bot)^\bot$
Теорема. [любой учебник по функану] Пусть $L\subseteq H$ -- замкнутое подпространство тогда $H=L\oplus L^\bot$ Следовательно $((\overline M)^\bot)^\bot=\overline M$

Спасибо. Но это доказательство только в одну сторону. А в другую?

-- 25.12.2013, 14:17 --

1)Нам нужно взять некоторую последовательность из ортогонального дополнения, и показать что её предел лежит также в ортогональном дополнении?
2)Разве это не является свойством ортогонального дополнения?

[Oleg Zubelevich]

Hostage в сообщении #805817 писал(а):

Но это доказательство только в одну сторону. А в другую?

это доказательство в обе стороны

[ewert]

Hostage в сообщении #805817 писал(а):

Но это доказательство только в одну сторону. А в другую?

В какую именно?

В одну сторону утверждение тривиально: ортогональное дополнение вообще любого множества есть подпространство, т.е. линейно (в силу аксиом скалярного произведения) и замкнуто (в силу его непрерывности, которая следует из неравенства Коши-Буняковского).

В обратную сторону (допустим, что $M$ -- подпространство...) утверждение уже нетривиально и действительно вытекает из разложения $H=M\oplus M^\perp$, которое, в свою очередь, фактически есть просто переформулировка теоремы о проекции.

Поэтому вопрос: откуда у Вас взялась эта задача? Теорема о проекции -- вещь достаточно нетривиальная и весьма идейная, так что до неё ставить такую задачку как-то малоуместно.

[Hostage]

ewert в сообщении #805862 писал(а):

В какую именно?

В одну сторону утверждение тривиально: ортогональное дополнение вообще любого множества есть подпространство, т.е. линейно (в силу аксиом скалярного произведения) и замкнуто (в силу его непрерывности, которая следует из неравенства Коши-Буняковского).

Хорошо, спасибо, теперь понял.

ewert в сообщении #805862 писал(а):

В обратную сторону (допустим, что $M$ -- подпространство...) утверждение уже нетривиально и действительно вытекает из разложения $H=M\oplus M^\perp$, которое, в свою очередь, фактически есть просто переформулировка теоремы о проекции.

Поэтому вопрос: откуда у Вас взялась эта задача? Теорема о проекции -- вещь достаточно нетривиальная и весьма идейная, так что до неё ставить такую задачку как-то малоуместно.

Итоговая контрольная по функану за семестр, одно из заданий. На семинарах мы эту теорему точно не разбирали и не применяли. Возможно на лекциях была, но если честно не уверен...

Всем спасибо за помощь

[ewert]

Hostage в сообщении #805889 писал(а):

На семинарах мы эту теорему точно не разбирали и не применяли. Возможно на лекциях была,

Её не могло не быть: это -- ключевая теорема, и как только вводится вообще понятие ортогонального дополнения -- с неизбежностью появляется и она. Нетривиальность же её в том, что она требует полноты гильбертова пространства (доказательство в предыдущую сторону -- не требует).

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

факт общий, гильбертовость не нужна

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #805946 писал(а):

факт общий, гильбертовость не нужна

Изъясняйтесь яснее: какой именно факт? в каком смысле общий? что в точности понимается под гильбертовостью?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $X$ -- банахово пространство, Пусть $M\subseteq X, \quad N\subseteq X'$ -- подпространства , возможно незамкнутые.

$$M^0=\{f\in X'\mid f(M)=0\},\quad N^\bot=\{x\in X\mid (f,x)=0,\quad f\in N\}$$

Теорема. $\overline M=(M^0)^\bot.$
Если $X$ -- рефлексивно, то $\overline N=(N^\bot)^0$

[ewert]

Это несерьёзно -- применять по отношению к гильбертовым вещам общебаноховые факты. Во всяком случае, когда гильбертовы гораздо геометрически прозрачнее.