Сдвиг свертки обобщенных функций

[vanoand]

Здравствуйте! Нужно сосчитать, чему равна свертка $\delta (x+1) \ast u(x)$, где $u(x) = 4x\exp{(-x^2)}$.
Мне сказали, что так $ \\t = x+1, \\x = t-1, \\ \delta (t) \ast u(t-1) = ...$ делать нельзя, а как можно?

Напишу-ка о еще одной моей проблеме с преобразованием Фурье:
$f(x)=x \theta (x-1) + (-x+2) \theta (1-x)$
$F[f]=F[x \theta (x-1) + (-x+2) \theta (1-x)] = [\pm \theta(x-1) \pm \theta(-x+1)] = F[(x-1)\theta(x-1) + \theta(x-1) + (-x+1)\theta(-x+1)+\theta(-x+1)]=e^{i\xi}F[x\theta(x)]+e^{-i\xi}F[-x\theta(-x)]+F[\theta(x-1)+\theta(-x+1)]$

В последнем равенстве мы применяем св-во о преобразовании Фурье сдвига, но как же так получается, что показатели у экспонент разные? На самом деле $-x+1=-(x-1)$, то есть показатели у экспонент должны быть одинаковые. Должно быть $=e^{i\xi}F[x\theta(x)]-e^{i\xi}F[-x\theta(-x)]..$, но тогда я не знаю, что делать со вторым слагаемым.

А вообще тут мы пытались все свести к уже известным результатам: $F[x\theta(x)], F[-x\theta(-x)], F[\theta(x+b)]$.

[profrotter]

vanoand в сообщении #805565 писал(а):

чему равна свертка $\delta (x+1) \ast u(x)$

Что означает ваша запись? Такое: $y(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u(t-x)\delta(x+1)dx$ или что-то ещё?

[vanoand]

Тут свертка обобщенных функций. На сколько я понимаю, для регулярных обобщенных функций:
$(f\ast g, \varphi)=\int{f(x)g(y)\varphi(x+y)dxdy}, \varphi \in D(R^n)$

Общий случай (в частности, для сингулярных) :
$(f\ast g, \varphi)=\lim{(f(x)g(y),\eta_k(x;y)\varphi(x+y))},\\ \varphi \in D(R^n), \eta_k$ при k=1,2,.. любая посл-сть, сходящаяся к 1 в $R^{2n} $

Дельта-функция сингулярная, так что пользуемся вторым определением.

[profrotter]

Я в этих тонкостях с $\lim$ не разбираюсь, но предлагаю обозначить $f(x)=\delta(x+1)$ (имеет ограниченный носитель) и рассматривать $(f\ast u,\varphi)=(f(x)\times u(y),\varphi(x+y))=(u(y),(f(x),\varphi(x+y)))=...$

[vanoand]

Ладно, тогда продолжая равенство:
$(f\ast u,\varphi)=(f(x)\times u(y),\varphi(x+y))=(u(y),(f(x),\varphi(x+y)))=(u(y),( \delta(x+1),\varphi(x+y)))=(u(y),\varphi(-1+y))=(4ye^{-y^2},\varphi(-1+y))=\int{4ye^{-y^2}\varphi(-1+y)}dy$
и что с этим интегралом? $\varphi$ - произвольная гладкая финитная. Вообще, в ответе должна получиться функция.

[NhSsUe]

но в начале была же не функция

[vanoand]

Как это? Свертка обобщенных функций -- опять обобщенная функция.

[profrotter]

vanoand в сообщении #805701 писал(а):

и что с этим интегралом

Выражение для $u(y)$ не подставлять, а привести всё к виду $(u(\text{чего-то}),\varphi(y))$.

[vanoand]

profrotter, спасибо! Еще надо бы, наверное, все тоже самое переписать вместе с $\eta_k$.
На повестке дня теперь остался только вопрос про преобразование Фурье :)