exitoneКак мне это кажется.
Физическая метрика, в том смысле, о котором Вы спрашиваете, определяется процедурой измерения, т.е. конвенцией о том, какие отрезки считаются равными или посредством перемещения эталона длины – жесткого стержня.
Адольф Грюнбаум детально разбирает такие вопросы в первой части «Философские проблемы метрики пространства и времени» (особенно в ее первой главе «Пространственная и временная конгруэнтность в физике....») своей книги «
Философские проблемы пространства и времени».
Касательно математической стороны, можете полистать главу VI «Теоретико-групповые принципы геометрии. Группы преобразований» книги «
Высшая геометрия» Николая Владимировича Ефимова.
На вопрос «Будет ли
априорное требование того, чтобы все преобразования группы

(порожденной всеми евклидовыми вращениями
как пробразованиями пространства), были изометриями, определять

-инвариантную метрику

с точностью до умножения до константы?», ответ отрицательный, поскольку любая композиция

-инвариантной метрики

с функцией, такая, что

тоже метрика (например,

), тоже будет являться

-инвариантной метрикой. Но если добавить еще условие, что след метрики на прямой (хотя бы на одной прямой

) афинен, (т.е. если точка

находится между точками

и

прямой

, то

), то ответ положителен. Действительно, сначала, пользуясь линейностью метрики

на прямой

, мы можем определить ее значения однозначно с точностью до умножения до константы в «рациональных» точках прямой

(если
![$[x,y]$ $[x,y]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/2/d2223de16b4743c412bde041d055e69682.png)
и
![$[x’,y’]$ $[x’,y’]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10d40e8f104d86fab5d0e4b1af5271f682.png)
– такие отрезки прямой

, что

, то

, поскольку существует вращение (относительно точки

, переводящее отрезок
![$[x,y]$ $[x,y]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/2/d2223de16b4743c412bde041d055e69682.png)
в отрезок
![$[x’,y’]$ $[x’,y’]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10d40e8f104d86fab5d0e4b1af5271f682.png)
). С подмножества «рациональных» точках прямой

метрика

однозначно по непрерывности продолжается на всю прямую

(непрерывность метрики на прямой

следует из того, что две точки пространства, находящиеся на расстоянии не больше

, можно соединить двухзвенной ломаной из отрезков
рациональной длины не больше

). Теперь рассмотрим произвольный отрезок
![$I=[x,y]$ $I=[x,y]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/9/8297c0c2088555f1580e4e2800a8566a82.png)
в пространстве. Вращением отрезка
![$[x,y]$ $[x,y]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/2/d2223de16b4743c412bde041d055e69682.png)
относительно его середины

мы можем перевести отрезок

в отрезок

, параллельный прямой

. Затем вращением на 180 градусов относительно середины перпендикуляра, опущенного из точки

на прямую

, мы можем перевести отрезок

в отрезок

прямой

.