Метрика

[exitone]

Почему в $\textsc{R}^3$ существует только одна инвариантная относительно вращения метрика?
Потому что такова природа вещей?

В книге Пуанкаре "О науке" читал, что, например, механику можно построить, основываясь на любой геометрии ( евклидовой, на сфере, лобачевского и т.д. ...), и от этого ничего не должно поменяться, кроме того, что выкладки будут сложнее. (Конечно же Лагранж построил механику и без геометрии, но все же.)

[arseniiv]

А что вы понимаете под вращением?

-- Пн дек 23, 2013 21:59:55 --

Поясню: если взять, например, определение «поворот — это изометрия, которая…» — то сначала надо задать метрику. И потом как-то неудивительно получить, что именно эта метрика инвариантна относительно такого поворота, и что она одна. (Стоп, как это одна? А если умножить все расстояния на константу?)

[exitone]

В двумере все знают матрицу поворота. В трехмере тоже (можно составить, например, из косинусов и синусов от углов Эйлера).
Так вот, при действии этих матриц на вектор, получается какой-то другой вектор, и его длина сохраняется только в Эйлеровой метрике. Меня волнует почему это так.

-- 23.12.2013, 19:03 --

arseniiv в сообщении #805221 писал(а):

(Стоп, как это одна? А если умножить все расстояния на константу?)

С точностью до константы.

[arseniiv]

Так вид этой матрицы диктуется метрикой, если вы не определяете, конечно, поворот как преобразование, матрица которого в каком-то базисе выглядит так-то.

[exitone]

Хорошо. Я согласен.

В таком случае, получается если бы у нас, вдруг, однажды, по каким-то неведомым причинам пропала эта метрика, мы бы смогли построить всю науку заново на любой другой?

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #805236 писал(а):

Так вид этой матрицы диктуется метрикой, если вы не определяете, конечно, поворот как преобразование, матрица которого в каком-то базисе выглядит так-то.

Действительно, вращение в произвольном векторном пространстве никак не определить, если нет метрики.

(Оффтоп)

Пусть даже мы возьмем евклидову метрику в $\mathbb{R}^n$. Тогда имеется стандартная группа вращений $SO_n$. Наверное можно предъявить еще много метрик, которые инвариантны относительно этой группы. Навскидку так думается. Вот если добавить требование однородности, тогда евклидова, вероятно, единственна

[Stan Slapenarski]

exitone

Как мне это кажется.

Физическая метрика, в том смысле, о котором Вы спрашиваете, определяется процедурой измерения, т.е. конвенцией о том, какие отрезки считаются равными или посредством перемещения эталона длины – жесткого стержня.

Адольф Грюнбаум детально разбирает такие вопросы в первой части «Философские проблемы метрики пространства и времени» (особенно в ее первой главе «Пространственная и временная конгруэнтность в физике....») своей книги «Философские проблемы пространства и времени».

Касательно математической стороны, можете полистать главу VI «Теоретико-групповые принципы геометрии. Группы преобразований» книги «Высшая геометрия» Николая Владимировича Ефимова.

На вопрос «Будет ли априорное требование того, чтобы все преобразования группы $G$ (порожденной всеми евклидовыми вращениями как пробразованиями пространства), были изометриями, определять $G$-инвариантную метрику $d$ с точностью до умножения до константы?», ответ отрицательный, поскольку любая композиция $d’=f(d)$ $G$-инвариантной метрики $d$ с функцией, такая, что $d’$ тоже метрика (например, $d’(x,y)=\min \{d(x,y),1\}$), тоже будет являться $G$-инвариантной метрикой. Но если добавить еще условие, что след метрики на прямой (хотя бы на одной прямой $L$) афинен, (т.е. если точка $y\in L$ находится между точками $x$ и $z$ прямой $L$, то $d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)$), то ответ положителен. Действительно, сначала, пользуясь линейностью метрики $d$ на прямой $L$, мы можем определить ее значения однозначно с точностью до умножения до константы в «рациональных» точках прямой $L$ (если $[x,y]$ и $[x’,y’]$ – такие отрезки прямой $L$, что $y-x=y’-x’$, то $d(x’,y’)=d(x,y)$, поскольку существует вращение (относительно точки $\left(\frac{x_1+x’_1+y_1+y’_1}{4},\frac{x_2+x’_2+y_2+y’_2}{4}, \frac{x_3+x’_3+y_3+y’_3}{4}\right)$, переводящее отрезок $[x,y]$ в отрезок $[x’,y’]$). С подмножества «рациональных» точках прямой $L$ метрика $d$ однозначно по непрерывности продолжается на всю прямую $L$ (непрерывность метрики на прямой $L$ следует из того, что две точки пространства, находящиеся на расстоянии не больше $\varepsilon$, можно соединить двухзвенной ломаной из отрезков рациональной длины не больше $2\varepsilon/3$). Теперь рассмотрим произвольный отрезок $I=[x,y]$ в пространстве. Вращением отрезка $[x,y]$ относительно его середины $O=\left(\frac{x_1+y_1}2, \frac{x_2+y_2}2, \frac{x_3+y_3}2\right)$ мы можем перевести отрезок $I$ в отрезок $I’$, параллельный прямой $L$. Затем вращением на 180 градусов относительно середины перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $L$, мы можем перевести отрезок $I’$ в отрезок $I’’$ прямой $L$.