Сравнение e^pi и pi^e

[вв]

есть еще одна интересная задачка. чтО больше $e^\pi$ или $\pi^e$.

[AHOHbIMHO]

вв писал(а):

есть еще одна интересная задачка. чтО больше e^arccos(-1) или arccos(-1)^e . надеюсь, не в претензии что я число пи так изобразил, пока не понял как тут писать формулы.

Не, совсем неинтересная задача. Интересная задача - доказать, что $\pi>e$.

$$f(x)=x-1-\ln(x), x>0$$ $$f'(x)=1-\frac{1}{x}$$ $$f''(x)=\frac{1}{x^2}>0$$ $$f'(x_{min})=0$$ $$x_{min}=1$$ $$f(x)>f(x_{min})=f(1)=0,x \ne x_{min}=1$$ $$f(x)>0$$ $$x-1-\ln(x)>0$$ $$x-1>\ln{(x)}$$ $$x/e-1>\ln{(x/e)},x \ne e$$ $$x/e-1>\ln{(x)}-\ln{(e)}$$ $$x/e-1>\ln{(x)}-1$$ $$x/e>\ln{(x)}$$ $$x>\ln{(x)} e$$ $$e^x>x^e$$ $$e^\pi>\pi^e$$

[tolstopuz]

AHOHbIMHO писал(а):

Интересная задача - доказать, что $\pi>e$.

Можно так:

$$e = 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {24} + \frac 1 {120} + \frac 1 {720} + \cdots$$

$$ < 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {24} + \frac 1 {48} + \frac 1 {96} + \cdots$$

$$ = 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {12} = \frac {11} 4$$

С другой стороны,

$$\cos x \ge 1 - \frac {x^2} 2$$

(выводится из того, что $\sin x < x$ при $x > 0$, через теорему о среднем)

$$\cos x > 0$$

при

$$0 \le x < \sqrt 2$$

$$\sqrt 2 \le \frac \pi 2$$

$$\pi \ge \sqrt 8$$