2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сравнение e^pi и pi^e
Сообщение23.01.2006, 20:05 
есть еще одна интересная задачка. чтО больше $e^\pi$ или $\pi^e$.

 
 
 
 Re: на тему определения производной
Сообщение23.01.2006, 20:56 
Аватара пользователя
вв писал(а):
есть еще одна интересная задачка. чтО больше e^arccos(-1) или arccos(-1)^e . надеюсь, не в претензии что я число пи так изобразил, пока не понял как тут писать формулы.


Не, совсем неинтересная задача. Интересная задача - доказать, что $\pi>e$.
$$f(x)=x-1-\ln(x), x>0$$
$$f'(x)=1-\frac{1}{x}$$
$$f''(x)=\frac{1}{x^2}>0$$
$$f'(x_{min})=0$$
$$x_{min}=1$$
$$f(x)>f(x_{min})=f(1)=0,x \ne x_{min}=1$$
$$f(x)>0$$
$$x-1-\ln(x)>0$$
$$x-1>\ln{(x)}$$
$$x/e-1>\ln{(x/e)},x \ne e$$
$$x/e-1>\ln{(x)}-\ln{(e)}$$
$$x/e-1>\ln{(x)}-1$$
$$x/e>\ln{(x)}$$
$$x>\ln{(x)} e$$
$$e^x>x^e$$
$$e^\pi>\pi^e$$

 
 
 
 Re: на тему определения производной
Сообщение23.01.2006, 21:50 
AHOHbIMHO писал(а):
Интересная задача - доказать, что $\pi>e$.

Можно так:
$$e = 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {24} + \frac 1 {120} + \frac 1 {720} + \cdots$$
$$ < 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {24} + \frac 1 {48} + \frac 1 {96} + \cdots$$
$$ = 1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {12} = \frac {11} 4$$
С другой стороны,
$$\cos x \ge 1 - \frac {x^2} 2$$ (выводится из того, что $\sin x < x$ при $x > 0$, через теорему о среднем)
$$\cos x > 0$$ при $$0 \le x < \sqrt 2$$
$$\sqrt 2 \le \frac \pi 2$$
$$\pi \ge \sqrt 8$$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group