Исследовать сходимость интеграла

[PoorFellow Tom]

Да, понял,тогда может быть так: $\lim_{x \to -2+0}\frac{1}{x^{-\alpha-2}}соответственно -\alpha-2<?$ что-то я подзапутался, меньше чего должна быть степень?

[provincialka]

Не ленитесь, выпишите интеграл и укажите признак.

(Оффтоп)

Я бы перешла к переменной $t=1/x$, но это на любителя

[ewert]

provincialka в сообщении #804708 писал(а):

Функция $-\sin \frac1x$ точно не является первообразной от $\cos\frac1x$ (независимо ни от каких замен). Так что в качестве функции "имеющей ограниченную первообразную"

Не является, и тем не менее первообразная от $\cos\frac1x$ всё-таки очевидно ограниченна. Правда, скрещивать Дирихле с Абелем -- некоторое архитектурное излишество, проще доказать монотонность произведения арктангенса на степень.

[PoorFellow Tom]

$f(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}Имеет ограниченную первообразную, непрерывен
g(x)=1/x^{-\alpha-2}$непрерывно дифференцируема и монотонна
$\int^1_0x^{\alpha}\cos\frac{1}{x}$ сходится по Дирихле
$\arctg x$непрерывно дифференцируем, монотонен и ограничен на множестве, следовательно исходный интеграл$\int^1_0\arctg x\cos\frac{1}{x}x^{\alpha}$ сходится по Абелю

[ewert]

Вы всё-таки прислушайтесь к потаённому пожеланию:

provincialka в сообщении #804769 писал(а):

(Оффтоп)

Я бы перешла к переменной $t=1/x$

Оно того стоит. Сразу много ненужныхветок отсохнет.

[PoorFellow Tom]

если сделать замену получится $\int_1^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha+2}}\cos t\arctg\frac{1}{t}dt$ так?

[provincialka]

Только не в этих пределах исправлено

[PoorFellow Tom]

Меня просто мучает вопрос , у меня сходимость условная получается при $\alpha<-2$ , но в ответах она $-3\leqslant\alpha\leqslant-2$ Почему так? Вроде бы предел по Дирихле равен нулю , когда $\alpha<-2$

[ewert]

PoorFellow Tom в сообщении #806811 писал(а):

Вроде бы предел по Дирихле равен нулю , когда $\alpha<-2$

Предел чего? И он что, при $\alpha=-10$ -- тоже нулю, да?