Задача на уравнение колебаний с неоднородностью от времени

[BasilKrzh]

Здравствуйте.
Никак не могу разобраться с задачей, прошу вашей помощи.

$\begin{cases} U_{tt}=a^2U_{xx}+\sin(\omega t) &x\in (0,l),t>0\\ U_{x}(0,t)=U_{x}(l,t)=0 &t>0\\ U(x,0)=0, U_{t}(x,0)=0 &x\in (0,l) \end{cases}$

Задачу решаю описанным во всех учебниках способом: предполагаю $U(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} X_{n}(x)T_{n}(t)$, где пространственная часть $X_{n}(x)$ -- собственные функции соответствующей задачи Штурма-Лиувилля:
$\begin{cases} X''+\lambda X = 0 &x\in (0,l)\\ X'(0)=X'(l)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} X_{n}(x) = \cos{\sqrt{\lambda_{n}} x} &x\in (0,l)\\ \lambda_{n}=(\frac{\pi n}{l})^2 \end{cases} $
Затем раскладываю по ним начальные условия (получаю $ \varphi_{n} = 0$, $\psi_{n}=0$) и неоднородность (получаю $f_{n}(t)=\delta_{0n}\sin{\omega t}$, где $\delta$ -- символ Кронекера). Тогда для $T_{n}(t)$ получается задача
$\begin{cases} T''_{n}+a^2 \lambda_{n} T_{n} = f_{n}= \delta_{0n}\sin{\omega t}&t>0\\ T_{n}(0)=\varphi_{n}=0, T'_{n}(0)=\psi_{n}=0 \end{cases}$, причем $\lambda_{0} = 0$.
Тогда $T_{n} = \delta_{0n} \frac{1}{\omega}(1-\frac{1}{\omega}\sin{\omega t})$. Получается, что $U(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} X_{n}(x)T_{n}(t) = X_{0}(x)T_{0}(t) = \frac{1}{\omega}(1-\frac{1}{\omega}\sin{\omega t})$. Утверждается, что этот ответ не до конца верный (т.е. в нём не хватает аддитивного члена с зависимостью от $x$). Пожалуйста, помогите разобраться, где ошибка.

[Ms-dos4]

Сделайте замену $\[U = u(x,t) - \frac{1}{{{\omega ^2}}}\sin (\omega t)\]$. Для $\[u(x,t)\]$ получите уравнение $\[\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {a^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\]$, единственное что, вам нужно получить начальные и граничные условия для функции $\[u(x,t)\]$ из условий на $\[U(x,y)\]$.

[ewert]

BasilKrzh в сообщении #804293 писал(а):

Утверждается, что этот ответ не до конца верный (т.е. в нём не хватает аддитивного члена с зависимостью от $x$).

Кем это утверждается, интересно? Никакой зависимости от икса там, разумеется, не будет. Другое дело, что у Вас решение для $T_0$ неверно (должно стоять $t$ вместо единички).

[BasilKrzh]

Да, я прошу прощения, ответ для $T_{n}$ и, соответственно, для $U(x,t)$ немного другой, $T_{n}(t) = \frac{1}{\omega}(t-\frac{1}{\omega}\sin{\omega t})$. К сожалению, это просто опечатка, которую я допустил, когда я набирал сообщение. То есть действительно решение должно выглядеть так и никакого аддитивного члена (с зависимостью от x) нет?

[ewert]

Не говоря уж о математических формальностях, никакой зависимости от икса не может быть даже по чисто физическим соображениям: внешняя нагрузка на струну равномерна по всей длине, концы струны свободны -- так с чего бы вдруг ей изгибаться?...

[BasilKrzh]

Да, и решение ведь только одно. Об этом я должен был подумать в первую очередь. Мне просто так убедительно говорили, что есть ещё аддитивный член, хотя и этот ответ может и подходить... Спасибо всем большое!