Пленительная неделимость

[nnosipov]

Null, такое ощущение, что за каждое лишнее слово с Вас берут по 100 рублей. Я бы почитал новое решение этой задачи (если оно у Вас есть), но разгадывать ребусы у меня нет ни времени, ни желания.

[Руст]

Задача не простая.
Для начала заметим, что $n$ нечетное, иначе $2^n-1$ делится на 3, и $3|2^n-1\not |3^n-1$.
Пусть $p|n$ нечетный простой делитель. Пусть $q|2^p-1$. Тогда $(\frac 2q)=1\to q=\pm 1 \mod 8$. Всегда можем выбрать $q=-1\mod 8$.
Из $q|3^n-1$ при нечетном $n$ должно быть $(\frac 3q)=1$. А это не так, если $q=1\mod 3, q=-1\mod 4$ или $q=-1\mod 3, q=1\mod 4$.
В частности, если $p$ такое, что $2^p-1=q$ так же простое, то n не может делится на р.

Здесь один пробел, а именно для любого ли простого р существует простой делитель $q|2^p-1$ вида $q=1\mod 3, q=-1\mod 4$ или $q=-1\mod 3, q=1\mod 4$.
При существовании следует, что $p\not |n$.
В случае простоты $2^p-1=q$ (число Мерсена) это автоматический выполняется.

[nnosipov]

Руст в сообщении #804608 писал(а):

Задача не простая.

Это точно. В своё время долго не мог понять, в чём фокус, пока не возникла правильная догадка (как обобщить). Компьютерная проверка подтвердила эту догадку, а дальше дело техники.

[Null]

У меня нет решения. Я просто пишу утверждения. Если не надо то не буду.

nnosipov в сообщении #804616 писал(а):

Здесь один пробел, а именно для любого ли простого р существует простой делитель $q|2^p-1$ вида $q=1\mod 3, q=-1\mod 4$ или $q=-1\mod 3, q=1\mod 4$.

Если p нечетно, то $2^p-1=7^{ } (\mod 12)$ у него есть простой делитель либо $7 (\mod 12)$, либо $5 (\mod 12)$ (произведение ±1 7 ни как не даст)

(Оффтоп)

Никогда на занятиях не решали задачи с квадратичными вычетами. Теперь о них даже не думаю.

[nnosipov]

Null в сообщении #804659 писал(а):

У меня нет решения. Я просто пишу утверждения. Если не надо то не буду.

Понятно. Почему не надо? Надо. Но пишите, пожалуйста, подробнее, особенно доказательства. Читать Ваши тексты интересно, но иногда они слишком лаконичны, и содержание ускользает. Не все понимают с полуслова, тут ничего не поделаешь.

[Руст]

Вспомнил задачу на прогулке и удивился в своей тупости.
Надо было показать, что число $2^n-1=7\mod 12 (n-odd)$ имеет простой делитель вида $12k\pm 7$.
Это очевидно, если все простые делители вида $\pm 1 \mod 12$, то и произведение $\pm 1\mod 12 \not =7\mod 12$.