Свойства некоторой СЛАУ

[Fgolm]

Интересуют свойства следующей СЛАУ.
Для простоты можно рассматривать случай $3 \times 3$.

$\left A = \left ( \begin{array} {1} {a_{11} } \ {a_{12} } \ {a_{13} }& {a_{21} } \ {a_{22} } \ {a_{23} }& {a_{31} } \ {a_{32} } \ {a_{33} }\end{array} \right ) $ $\left B = \left ( \begin{array} {1} {b}& {b}& {b}\end{array} \right ) $

$AX=B \ \ \ \ (1)$
Известно, что решение $X$ СЛАУ (1) представляет собой следующий вектор:
$\left X = \left ( \begin{array} {1} {c}& { c }& { c }\end{array} \right ) $,
Где $c=const$.
Мне удалось установить только два основных свойства такой СЛАУ:

$ 1^o )$ $\left \left | \begin{array} {1} {1 } \ {a_{12} } \ {a_{13} }& {1} \ {a_{22} } \ {a_{23} }& {1} \ {a_{32} } \ {a_{33} }\end{array} \right | $ = $\left \left | \begin{array} {1} {a_{11} } \ {1 } \ {a_{13} }& {a_{21} } \ {1} \ {a_{23} }& {a_{31} } \ {1} \ {a_{33} }\end{array} \right | $ = $\left \left | \begin{array} {1} {a_{11} } \ {a_{12} } \ {1}& {a_{21} } \ {a_{22} } \ {1}& {a_{31} } \ {a_{32} } \ {1}\end{array} \right | $
$ 2^o )$ $ {a_{11} } +{a_{12} }+{a_{13} }= {a_{21} }+ {a_{22} }+ {a_{23} }= {a_{31} }+ {a_{32} }+ {a_{33} }$

Я подумал, может быть имеются какие-нибудь еще "интересные" (с точки зренеия расчетов) свойства. И насколько "интересны" те, которые приведены?

P.S. (для модератора) я решил поместить этот вопрос в текущий раздел, поскольку, как только выяснятся теоретические вопросы, я планирую привести конкретный численный пример, который, возможно обнажит и вычислительные проблемы.

[worm2]

Ну, если b не равно нулю (а значит, и c <> 0), то можно сказать, что (1 1 1) --- собственный вектор матрицы A с соответствующим собственным значением b/c.
Если b (а значит, и c) = 0, то про матрицу A вообще ничего нельзя сказать

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

Если c<>0, то
$ \left | \begin{array}{lll} a_{11}-b/c & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}-b/c & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-b/c\end{array} \right | $ = 0.

[Fgolm]

Да, это действительно интересно. Я вот, начал проверять это на различных СЛАУ, тоже небольших и на той, которая возникает в моей задаче. Получается, что для произвольных (небольших) матриц отношение $ b/c$ дает максимальное с.з. (может это случайность), а для моей матрицы - минимальное. Интересно понять какое именно с.з. $ b/c$.

[незваный гость]

worm2 писал(а):

Если b (а значит, и c) = 0

Только если матрица неособая.

[Fgolm]

Рассмотрим элементарные преобразования над СЛАУ.

$\left A = \left ( \begin{array} {1} {a_{11} } \ {a_{12} } \ {a_{13} }& {a_{21} } \ {a_{22} } \ {a_{23} }& {a_{31} } \ {a_{32} } \ {a_{33} }\end{array} \right ) $ $\left B = \left ( \begin{array} {1} {b_{1}}& {b_{2}}& {b_{3}}\end{array} \right ) $

$AX=B \ \ \ \ (1)$

$\left A' = \left ( \begin{array} {1} {a_{11}-{a_{21} } \ {a_{12}-a_{22} } \ {a_{13}-a_{23} }& {a_{21}-a_{31} } \ {a_{22}-a_{32} } \ {a_{23}-a_{33} }& {a_{31} } \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{32} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{33} }\end{array} \right ) $ $\left B' = \left ( \begin{array} {1} {b_{1}- b_{2}}& {b_{2}- b_{3}}& {b_{3}}\end{array} \right ) $

$ A'X'=B' \ \ \ \ (2)$

Если расписать по методу Крамера, например элемент $ x'_1$, то получим:

$ x'_1={\left | \begin{array} {1} {b_{1}-b_{2} } \ {a_{12}-a_{22} } \ {a_{13}-a_{23} }& { b_{2}-b_{3}} \ {a_{22}-a_{32}} \ {a_{23}-a_{33}}& { b_{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{32} } \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{33} }\end{array} \right | \over \Delta'} \ \ \ \ (3) $

В силу линейности определители матриц в (1) и (2) должны быть равны

$ \Delta' = \Delta, $

и также равны

$ {\left | \begin{array} {1} {b_{1}-b_{2} } \ {a_{12}-a_{22} } \ {a_{13}-a_{23} }& { b_{2}-b_{3}} \ {a_{22}-a_{32}} \ {a_{23}-a_{33}}& { b_{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{32} } \ \ \ \ \ \ \ \ {a_{33} }\end{array} \right | = {\left | \begin{array} {1} {b_{1}} \ {a_{12}} \ {a_{13}}& { b_{2}} \ {a_{22}} \ {a_{23}}& { b_{3}} \ {a_{32} } \ {a_{33} }\end{array} \right | .$
И, следовательно
$ x'_1=x_1$
Тогда получаем, что $ X' = X \ \ \ \ (4)$
У меня вопрос: всегда ли справедливо равенство (4) или в общем случае должно быть $ X' = X + constI$? ($I$ - единичный вектор). Например, в случае, когда матрица СЛАУ удовлетворяет свойствам в первом и втором постах.

[abc_qmost]

Fgolm писал(а):

Интересуют свойства следующей СЛАУ...

СЛАУ и алгебраическая проблема собственных значений - это совершенно разные вещи (отчетливое понимание этого факта связано с именем Галуа). Поэтому и алгоритмы решения этих проблем совершенно различны.

[vasionok]

в последнем случае

$ \left A' = \left ( \begin{array} {ссс} a_{11}-a_{21} & a_{12}-a_{22} & a_{13}-a_{23} \\ a_{21}-a_{31} & a_{22}-a_{32} & a_{23}-a_{33}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} {ссс} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{array} \right ) \left ( \begin{array} {ссс} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right )$, то есть $ A^\prime=CA$, где $ C = \left ( \begin{array} {ссс} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ). $

Аналогично,

$ \left B' = \left ( \begin{array} {1} {b_{1}- b_{2}}& {b_{2}- b_{3}}& {b_{3}}\end{array} \right ) = \left ( \begin{array} {ссс} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{array} \right ) \left ( \begin{array} {с} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array} \right ) = CB. $

Поэтому $ A'X'=B' $ эквивалентно $ CAX'=CB $. Домножая слева на $ C^{-1} $ получаем $AX'=B$. Значит $ X = X' $ всегда.

Вообще, если вы нашли решение $ X $ уравнения $ AX=B $, то всякое $ X' = X+Y$, где $ Y $ лежит в ядре $ A $, т.е. такое, что $ AY = 0 $, тоже является решением этого уравнения. Конечно, если матрица не сингулярна, т.е. $ \det (A) \ne 0$, то ядро пустое.

Добавлено спустя 11 минут 37 секунд:

Re: Свойства некоторой СЛАУ

abc_qmost писал(а):

СЛАУ и алгебраическая проблема собственных значений - это совершенно разные вещи (отчетливое понимание этого факта связано с именем Галуа). Поэтому и алгоритмы решения этих проблем совершенно различны.

нельзя ли поподробнее насчёт Галуа? Очень интересно что вы имеете в виду, говоря, что это совершенно разные вещи.

[abc_qmost]

vasionok писал(а):

abc_qmost писал(а):

СЛАУ и алгебраическая проблема собственных значений - это совершенно разные вещи (отчетливое понимание этого факта связано с именем Галуа). Поэтому и алгоритмы решения этих проблем совершенно различны.

нельзя ли поподробнее насчёт Галуа? Очень интересно что вы имеете в виду, говоря, что это совершенно разные вещи.

Исходная постановка задачи эквивалентна тому, что задано одно собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. И в сноске говорится о возникающих проблемах при решении СЛАУ. Мне лично не нравится, когда смешивают божий дар с яишницей. По поводу Галуа: я говорю о нахождении с.з. (решение уравнения соответствующей степени).