Одна задача с ПВГ-2014

[nnosipov]

Для функции $f(x)=2013-a+\cos{(2\pi x)}-8x^3-12x^2-20x$ найдите количество целых значений $a$, при каждом из которых уравнение

$$ \underbrace{f(\ldots f}_{2013}(x)\ldots)=2x+1 $$

на отрезке $[49,50]$ имеет единственное решение.

Решение этой задачи см. в приложенном файле (задача 10.1). Всё ли в порядке в этом решении? Мне оно кажется неверным. Если оно действительно неверно, то предлагается найти верное решение.

[Руст]

Да, бред.
Пусть $f(x)=x^2$ и обозначим $t=x^2, F(t)=f(x)=x^2=t$.
Тогда $f(f(x))=x^4, F(F(t))=t=x^2\not =f(f(x)).$

Верное решение.
$f'(x)=-2\pi sin(2\pi x)-24x^2-24x-20\le -13.$
Значит всегда имеется одно (сильно неустойчивая) неподвижная точка. Существует обратная функция, для которой неподвижная точка становится единственной устойчивой неподвижной точкой. Взяв $y_0\in (99,101)$ и взяв 2013 раз обратную функцию находим с большой точностью как единственную неподвижную точку, так и единственное решение уравнения с большой точностью.
Параметр а нужен только для того, чтобы эта неподвижная точка с маленьким запасом оказалось в нужным интервале (49,50).

[nnosipov]

Руст, спасибо, подтвердили мои подозрения. Идея Вашего решения понятна, я использовал аналогичные соображения: корень $x^*$ данного уравнения весьма близок к корню уравнения $f(x)=x$, причём равномерно по $a$, если считать $x^* \in [49,50]$.

Интересно, кто сочиняет задачи для ПВГ?

[patzer2097]

nnosipov в сообщении #804206 писал(а):

Интересно, кто сочиняет задачи для ПВГ?

все это организуется приемной комиссией мехмата МГУ, насколько мне известно

[Руст]

Ответ там правильный. Неверно только перезапись уравнения:
$f(f(f(....x)....)=2x-1$ в виде $F(F(...F(t)...)=t$.
На самом деле можно придумать случай, когда при таком решении ответ станет неверным. Только для этого нужно, чтобы
убывающая функция $f(x)$ хотя бы в некоторой части интервала была не быстро убывающей: $-1\le f'(x)<0$.
Здесь также находим количество целых а как $8(50)^3+12(50^2)+21*50-8*49^3-12*49^2-21*49$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #804247 писал(а):

Неверно только перезапись уравнения:
$f(f(f(....x)....)=2x-1$ в виде $F(F(...F(t)...)=t$.

Да, именно этот момент.

Меня школьники попросили решить 4-й вариант, и ответ у меня получился не тот, как у них. Но надо всё аккуратно записать и перепроверить.

[nnosipov]

Руст в сообщении #804247 писал(а):

Ответ там правильный.

Нет, ответ там кардинально неправильный --- промежуток значений параметра $a$ совсем другой.

Своё решение прилагаю.

[Руст]

Думаю ошибаетесь.
Ошибка была в неэквивалентной замене

$$f(f(...f(x)...))=g(x)$$

на

$$F(F(....F(t)...))=t, t=g(x), F(t)=f(g^{-1}(t).$$

Надо было

$$F(t)=g(f(g^{-1}(t))).$$

Что касается подсчета неподвижных точек, соответствующих количеству возможных значений параметра а все в порядке.
Так как уравнение $f(x)=f_0(x)-a=x$ эквивалентно $f(g^{-1}(t)=f_0(g^{-1}(t))-a=g^{-1}(t)$.
Там учитывается, что интервал для t уже не [49,50] , а [99,101].

Не учитывается, что при таком переходе устойчивость неподвижных точек может меняться и может быть $|F'(t)|<1<|f'(x)|$ или наоборот.
Которые могут привести к разному количеству решений возможных а.

[nnosipov]

Руст в сообщении #805373 писал(а):

Думаю ошибаетесь.

Укажите конкретное место в моём решении, где Вы видите ошибку, и в чём эта ошибка состоит.

Руст в сообщении #805373 писал(а):

Надо было

$$F(t)=g(f(g^{-1}(t))).$$

Почему Вы решили, что это корректная замена? Рассмотрим более простой пример, где всё можно подсчитать явно. Пусть $f(x)=-2x$ и мы решаем уравнение $f(f(f(x)))=2x+1=:g(x)$. Тогда $g^{-1}(t)=(t-1)/2$ и Ваша $F(t)=g(f(g^{-1}(t)))=-2t+3$.

Исходное уравнение $f(f(f(x)))=2x+1$ --- это уравнение $-8x=2x+1$, корень которого $x_0=-1/10$. Новое уравнение $F(F(F(t)))=t$ --- это уравнение $-8t+9=t$, корнем которого является $t_0=1$. Имеем $g(x_0)=2x_0+1 \neq t_0$.

На самом деле при Вашей замене новое уравнение $F(\ldots F(t) \ldots)=t$ будет равносильно уравнению $f(\ldots f(x) \ldots)=x$, а не уравнению $f(\ldots f(x) \ldots)=g(x)$.

[Руст]

nnosipov в сообщении #805531 писал(а):

Руст в сообщении #805373 писал(а):

Думаю ошибаетесь.

Укажите конкретное место в моём решении, где Вы видите ошибку, и в чём эта ошибка состоит.

Я имел в виду не ошибку в вашем решении, а ваше высказывание- ответ там кардинально неправильный.

Цитата:

Почему Вы решили, что это корректная замена?

Такая замена сохраняет неподвижные точки и их свойство устойчивости.
Т.е., если решаем

$$f(f(...f(x)....))=x,$$

то это эквивалентно уравнению:

$$F(F(....F(t)...))=t.$$

[nnosipov]

Если у меня всё верно, то тогда у них ответ существенно неверный --- это я и имел в виду. Кстати, я тоже сначала придумал неверное решение этой задачи, но (как теперь выясняется) с верным ответом.

Вообще, задача хороша тем, что даёт приличную коллекцию правдоподобных, но неверных решений.