Уравнение распределения тепла в однородном стержне

[Perzh]

Здравствуйте. В универе дали задание по численным методам решить краевую задачу о распределении тепла в однородном стержне:
$c \rho\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}(k(x)\frac{\partial u}{\partial x}) + f(u)$
Запилил программу в матлабе, проверил погрешности, все ок. Теперь препод сказал поэкспериментировать с данными. В связи с этим возник вопрос: какую брать функцию f(u), чтобы промоделировать близко к реальным условиям? Просто с остальными параметрами как будто более менее ясно, надо посмотреть где нибудь из таблички и подставить. Или еще лучше если объясните физический смысл f(u) или посоветуете литературу. Заранее спасибо

[Munin]

Так вы что, физического смысла не знаете? Где там теплоёмкость, где теплопроводность и т. п.
Поскольку $f(u)$ стоит в правой части, и не в начальных условиях, а в уравнении, то это - выделение тепла. Поскольку $f(u)$ зависит от $u,$ и не зависит от $x,$ то это - выделение тепла за счёт тепла же. Например, химическая реакция, которая идёт при нагревании, и выделяет энергию. Могут быть и другие источники тепла с такими зависимостями.

Для химической реакции: $f(u)$ обычно растёт с температурой, и часто довольно резко (показательно, хотя может выходить и на насыщение). Иногда полиномиально. Часто бывает, что у этой функции есть пороговое значение, ниже которого тепло не выделяется вообще. Можно попробовать разные ступеньки (от ломаной до $\mathrm{erf}$).

[Perzh]

Спасибо за ответ. А если например я стержень из свинца нагреваю, там же никаких реакций не происходит наверно.

[warlock66613]

Munin в сообщении #803648 писал(а):

Могут быть и другие источники тепла с такими зависимостями.

Например, самое простое что приходит в голову - терморезистор, через который протекает электрический ток. В зависимости от температуры будет меняться сопротивление, и, следовательно, выделение тепла. Здесь функция $f(u)$ будет монотонной, а её конкретный вид определяется свойствами резистора и схемой включения его в цепь.

[Munin]

Perzh в сообщении #803685 писал(а):

Спасибо за ответ. А если например я стержень из свинца нагреваю, там же никаких реакций не происходит наверно.

Тогда в нём $f(u)=0$ - простейший случай. Но задачи на теплопроводность бывают и более сложные, чем просто нагревание стержня из свинца. Бывают химические реакторы, воспламеняющиеся вещества, ядерные реакции, могут быть разнообразные задачи такого типа в электронике и смежных областях. Поэтому к ним морально готовят.

[DimaM]

Для численных методов интересная функция $f(u)=au-bu^3$. Получается тепловая волна, которая распространяется с постоянной скоростью. Форму и скорость при постоянной температуропроводности можно найти аналитически (будет, няп, гиперболический тангенс), потом численное решение сравнить.

[Perzh]

Всем спасибо большое за ответы =)

Может быть кто нибудь подскажет где можно достать результаты измерений температуры стрежня (из любого материала), чтобы я мог сравнить (или подогнать) результаты моделирования?

[Zai]

Цитата:

Для химической реакции: $f(u)$ обычно растёт с температурой, и часто довольно резко (показательно, хотя может выходить и на насыщение).

Сожалею, но в химических реакциях тепловыделение больше похоже на дельта функцию от времени.
Аррениусовское тепловыделение действительно экспоненциально, но скорее по тепературе, и после химрекации тепловыделения нет.

Для свинца при его ударе на больших скоростях тепловыделение присутствует на фронте упругопластической волны. Но там есть функция координаты и времени, а не самой температуры.
Ваше уравнение при тепловыделении типа горения требует чтобы шаг по времени и размер ячейки по пространству не привел к затуханию горения.

Ваша функция
$f(u)=0 :: u<u_0$
t_{after} :: u=u_0$ (определяется один раз - нельзя войдти в одну и ту же реку два раза)
$f(u)=q :: t>t_{after}$
$f(u)=0 :: q*(t-t_{after})>Q $

Найдите стационарный режим, не зависящий от размера сетки и шага по пространству.
С учетом того, что эта задача при обезразмеривании становится классической, Ваше правильное решение будет многие годы цитироваться.

[Munin]

Zai в сообщении #804160 писал(а):

Сожалею, но в химических реакциях тепловыделение больше похоже на дельта функцию от времени.
Аррениусовское тепловыделение действительно экспоненциально, но скорее по тепературе, и после химрекации тепловыделения нет.

Вы не обратили внимания на аргумент. $f(u),$ а не $f(t),$ так что речь идёт именно о функции по температуре.

Да, то, что после химреакции тепловыделения нет - дополнительная сложность. Кроме $u,$ отвечающей температуре (или тепловой энергии) вещества, необходимо ввести ещё и какие-то $\mu,$ описывающие химсостав (или энтальпию), и когда они обнуляются, $f(u)$ обнуляется тоже. Но для описания начала реакции, когда реагенты наличествуют ещё в избытке, можно от этого отвлечься.

[Zai]

Цитата:

Вы не обратили внимания на аргумент...

Сожалею, но в Вашем предыдущем посте ничего не было сказано о нулевом тепловыделении после химреакции.

[Munin]

Да, не было, потому что я писал его именно в том приближении, которое подробнее изложил в предыдущем посте :-) (ладно, точнее ссылка: post804172.html#p804172 )

[Zai]

(Оффтоп)

Цитата:

я писал его именно в том приближении...

Вот именно что Вы всегда так обезьяничаете, поэтому публикаций в международных изданиях по результатам дисуссий нашего форума и нет.