Ур. мат. физ.

[Slow]

Дана задача:
$0<x<\frac{\pi}{2};t\geqslant 0$
$u_{tt}-u_{xx}-2u=12x(1-t^2)+3\pi e^{-t}\sin{2x}$
$u_x(0,t)=6t^2;u(\frac{\pi}{2},t)=3\pi t^2$
$u(x,0)=-\frac{3}{5}\cos{3x};u_t(x,0)=-\frac{3}{5}\cos{3x}$
Думаю ее надо решать методом Фурье, но для начала занулим краевые условия заменой:
$u=v+6xt^2$
Таким образом получаем задачу:
$v_{tt}-v_{xx}-2v=3\pi e^{-t}\sin{2x}$
$v_x(0,t)=0;v(\frac{\pi}{2},t)=0$
$v(x,0)=-\frac{3}{5}\cos{3x};v_t(x,0)=-\frac{3}{5}\cos{3x}$
Но чтобы разделить переменные нужно что то с правой частью сделать, причем так чтобы краевые условия остались нулевыми. Подскажите может я вообще не в ту степь иду?

[Vince Diesel]

C правой частью тоже можно решать методом Фурье. См., например, Тихонов, Самарский, "Уравнения математической физики".

[ewert]

Slow в сообщении #803953 писал(а):

чтобы разделить переменные нужно что то с правой частью сделать

Потому что надо оформлять решение не как "разделение переменных", а как "разложение по собственным функциям". Тогда никакой принципиальной разницы не будет, лишь чисто техническая -- дифуравнения для зависимости коэффициентов от времени окажутся неоднородными.

[Slow]

Я так понял надо делать так: ищу решение в виде $v(x,t)=\sum T_n(t)X_n(x)$, где $X_n(x)=\cos(2n+1)x$, далее раскладываю правую часть и условия при $t=0$ в ряд по функциям $X_n(x)$. И подставляю это все в уравнение?

[ewert]

Да