2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 интерполяционный полином Лагранжа
Сообщение30.09.2007, 22:58 


30/08/07
24
Помогите пожалуйста решить такую задачу.
Пусть $X_1,\dots\,X_1_0$ - попарно различные числа, $Y_1,\dots\,Y_1_0$ - любые числа. Доказать, что существует ровно один многочлен степени не выше 9, для которого $P(X_1)=Y_1$, $P(X_2)=Y_2,\dots\ ,P(X_1_0 )=Y_1_0$. Если можете то подскажите как действовать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Tarsik писал(а):
Если можете то подскажите как действовать.


Запишите многочлен девятой степени в общем виде. Он имеет 10 неизвестных коэффициентов. Тогда написанные Вами 10 равенств дают систему линейных уравнений для этих коэффициентов. И можно воспользоваться теоремой Крамера.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 23:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Это совершенно классическая задача. Сначала придумайте такой многочлен заданной степени, чтобы он принимал значение 0 в заданных 9 точках, а еще в одной - значение 1. Затем подходящей линейной комбинацией подобных многочленов получите тот, который Вам нужен. Отдельно надо доказать, что другого такого не существует. Предполагая противное, подумайте, каким свойством будет обладать разность двух многочленов с таким свойством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Да, вот PAV тоже очень хороший совет даёт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 23:38 


30/08/07
24
Так значит мне нужно рассмотреть разность двух многочленов степени не выше 9? Так нужно ли создавать многочлен, который бы принимал значене 0 в 9 точках и 1 в 10 точке? Если да, то намекните как?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2007, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Почитайте вот это: http://www.kostroma.edu.ru/method/funktion/kl1.htm
или вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B6%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 07:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Отделено в самостоятельную тему

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.10.2007, 09:45 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Tarsik писал(а):
Так значит мне нужно рассмотреть разность двух многочленов степени не выше 9? Так нужно ли создавать многочлен, который бы принимал значене 0 в 9 точках и 1 в 10 точке? Если да, то намекните как?
Вам нужно доказать две вещи. Задача состоит из двух частей.
1. Единственность.
2. Существование.
Разность надо рассматривать в первой части, а создавать многочлен - во второй.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2007, 00:20 


30/08/07
24
AD писал(а):
Вам нужно доказать две вещи. Задача состоит из двух частей.
1. Единственность.
2. Существование.
Разность надо рассматривать в первой части, а создавать многочлен - во второй.

Спасибо за подказку.Значит в первой части я доведу, что если значения двух многочленов 9-ой степени совпадают при 10 различных значениях $X_1,X_2, \dots\ ,X_1_0$, то эти многочлены тождественны. Я рассмотрю разность многочленов $f(X)=P_1(X)-P_2(X)$.
А как мне прийти к полиному Лагранжа? То есть как его начинать создавать? На что намекал PAV?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2007, 08:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Tarsik писал(а):
А как мне прийти к полиному Лагранжа? То есть как его начинать создавать? На что намекал PAV?
Я же дал Вам две ссылки, где выписан явный вид многочлена Лагранжа. Читайте и вникайте!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2007, 08:16 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Во-первых, все достаточно четко описано в тех ссылках, которые дал Brukvalub. Во-вторых, подумайте, как выглядит многочлен, про который нам известны все его корни (вспомните теорему Безу). Скажем, многочлен второй степени с корнями $X_1$ и $X_2$ как записать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group