интерполяционный полином Лагранжа

[Tarsik]

Помогите пожалуйста решить такую задачу.
Пусть $X_1,\dots\,X_1_0$ - попарно различные числа, $Y_1,\dots\,Y_1_0$ - любые числа. Доказать, что существует ровно один многочлен степени не выше 9, для которого $P(X_1)=Y_1$, $P(X_2)=Y_2,\dots\ ,P(X_1_0 )=Y_1_0$. Если можете то подскажите как действовать.

[Someone]

Tarsik писал(а):

Если можете то подскажите как действовать.

Запишите многочлен девятой степени в общем виде. Он имеет 10 неизвестных коэффициентов. Тогда написанные Вами 10 равенств дают систему линейных уравнений для этих коэффициентов. И можно воспользоваться теоремой Крамера.

[PAV]

Это совершенно классическая задача. Сначала придумайте такой многочлен заданной степени, чтобы он принимал значение 0 в заданных 9 точках, а еще в одной - значение 1. Затем подходящей линейной комбинацией подобных многочленов получите тот, который Вам нужен. Отдельно надо доказать, что другого такого не существует. Предполагая противное, подумайте, каким свойством будет обладать разность двух многочленов с таким свойством.

[Someone]

Да, вот PAV тоже очень хороший совет даёт.

[Tarsik]

Так значит мне нужно рассмотреть разность двух многочленов степени не выше 9? Так нужно ли создавать многочлен, который бы принимал значене 0 в 9 точках и 1 в 10 точке? Если да, то намекните как?

[Brukvalub]

Почитайте вот это: http://www.kostroma.edu.ru/method/funktion/kl1.htm
или вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B6%D0%B0

[PAV]

Отделено в самостоятельную тему

[AD]

Tarsik писал(а):

Так значит мне нужно рассмотреть разность двух многочленов степени не выше 9? Так нужно ли создавать многочлен, который бы принимал значене 0 в 9 точках и 1 в 10 точке? Если да, то намекните как?

Вам нужно доказать две вещи. Задача состоит из двух частей.
1. Единственность.
2. Существование.
Разность надо рассматривать в первой части, а создавать многочлен - во второй.

[Tarsik]

AD писал(а):

Вам нужно доказать две вещи. Задача состоит из двух частей.
1. Единственность.
2. Существование.
Разность надо рассматривать в первой части, а создавать многочлен - во второй.

Спасибо за подказку.Значит в первой части я доведу, что если значения двух многочленов 9-ой степени совпадают при 10 различных значениях $X_1,X_2, \dots\ ,X_1_0$, то эти многочлены тождественны. Я рассмотрю разность многочленов $f(X)=P_1(X)-P_2(X)$.
А как мне прийти к полиному Лагранжа? То есть как его начинать создавать? На что намекал PAV?

[Brukvalub]

Tarsik писал(а):

А как мне прийти к полиному Лагранжа? То есть как его начинать создавать? На что намекал PAV?

Я же дал Вам две ссылки, где выписан явный вид многочлена Лагранжа. Читайте и вникайте!

[PAV]

Во-первых, все достаточно четко описано в тех ссылках, которые дал Brukvalub. Во-вторых, подумайте, как выглядит многочлен, про который нам известны все его корни (вспомните теорему Безу). Скажем, многочлен второй степени с корнями $X_1$ и $X_2$ как записать?