Неравенство Йенсена и определение выпуклости

[danildushistov]

Здравствуйте! Есть следующая задача.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и выполняется следующее неравенство:
$\forall x_1, x_2 \in X \subset \mathbb{R}^2 / f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leqslant \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
Доказать, что функция $f(x)$ - выпукла.

Почитав соответствующие разделы нескольких книг, я понял, что здесь фигурирует знаменитое неравенство Йенсена для случая двухмерного пространства $X$. Его можно вывести из определения выпуклости (для размерности пространства $n = 2$):

$\forall x_1, x_2 \in X \subset \mathbb{R}^2, \forall \lambda \in [0,1] / f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)$. (1)

Положим в (1) $\lambda = \frac{1}{2}$, получим:

$\forall x_1, x_2 \in X \subset \mathbb{R}^2, / f(\frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2}x_2) \leqslant \frac{1}{2} f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)$
$\forall x_1, x_2 \in X \subset \mathbb{R}^2 / f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leqslant \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

Но я понимаю, что так мы показали эквивалентности этих неравенств только $\lambda = \frac{1}{2}$, но при этом нам необходимо доказать их эквивалентность при $\forall \lambda \in [0,1]$, чтобы решить эту задачу.

Пожалуйста, подскажите,что делать дальше!

[patzer2097]

danildushistov в сообщении #803738 писал(а):

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и выполняется следующее неравенство:
$\forall x_1, x_2 \in X \subset \mathbb{R}^2 / f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leqslant \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
Доказать, что функция $f(x)$ - выпукла.

Докажите, что

$$f\left(\frac{\lambda x_1+\mu x_2}{2^n}\right)\leqslant \frac{\lambda f(x_1)+\mu f(x_2)}{2^n}$$

для любых целых неотрицательных $\lambda+\mu=2^n$, и воспользуйтесь непрерывностью.

[ewert]

Лучше сказать то же самое открытым текстом: всилу непрерывности достаточно доказать это неравенство для случая, когда лямбда -- конечная двоичная дробь.

[patzer2097]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #803807 писал(а):

Лучше сказать <...>

ага, спасибо теперь я мог бы спокойно удалить свой предыдущий комментарий за его ненадобностью

[SpBTimes]

А можно, наверное, так. Пусть $f \in C(a; b)$ и выполнено $f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leqslant \frac{1}{2}(f(x_1) + f(x_2))$ для любых $x_1, x_2 \in (a; b)$.
Предположим, что найдется хорда, которая не лежит выше графика. Не нарушая общности, пусть она проходит через $(a, f(a)), (b, f(b))$. Рассмотрим функцию

$$ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a). $$

По предположению, найдется $x_0 \in (a; b)$, что $g(x_0) > 0$. Рассмотрим ближайшие точки $x_l < x_0 < x_r$ такие, что $g(x_l) = g(x_r) = 0$. Они, конечно, найдутся, т.к. $g(a) = g(b) = 0$. Тогда, в силу непрерывности $g(x)$, $g(x) \geqslant 0$ на $(x_l, x_r)$.
Но можно проверить, что $g(\frac{x_l + x_r}{2}) = f(\frac{x_l + x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) + f(x_r))$

[ewert]

SpBTimes в сообщении #804030 писал(а):

По предположению, найдется $x_0 \in (a; b)$, что $g(x_0) > 0$.

Этого я совершенно не понял. При чём тут жэ больше нуля, если жэ -- всего-навсего линейна и всё тут.

[provincialka]

ewert, почему линейна? Там же $f(x)$ входит? Это обычная конструкция, как в теореме Лагранжа.

[ewert]

Снимаю то возражение -- я и впрямь не вчитался. Но два всё-таки остаются. Первое (несущественное, хотя, возможно, именно оно меня и сбило с толку) -- это что "$f(x_l) = f(x_r) = 0$" есть всё-таки очипятка. Второе (уже по существу) -- словечко "ближайшие" требует всё-таки некоторых формальных обоснований, так что я бы лично предпочёл всё-таки дроби. Но это уже вкусовщина, разумеется.

[SpBTimes]

ewert
О, спасибо, поправлю!

[danildushistov]

Спасибо всем за такое активное обсуждение!

SpBTimes в сообщении #804030 писал(а):

Предположим, что найдется хорда, которая не лежит выше графика. Не нарушая общности, пусть она проходит через $(a, f(a)), (b, f(b))$. Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a). $

Как я понял, Вы пользуетесь методом от противного. Чтобы доказать, что выполняется определение выпуклости, нужно доказать, что не выполняется противоположное ему утверждение. Поэтому мы предполагаем, что существует такая хорда, которая не лежит выше графика функции $f(x)$.

SpBTimes в сообщении #804030 писал(а):

Но можно проверить, что $g(\frac{x_l + x_r}{2}) = f(\frac{x_l + x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) + f(x_r))$

Я не понял, что следует из последнего утверждения. Ясно только, что в точках $x_l $ и $x_r$ у нас $f(\frac{x_l + x_r}{2}) = \frac{1}{2}(f(x_l) + f(x_r))$. Но что это нам дает? И что дает факт, что $g(x) \geqslant 0$?

[ewert]

danildushistov в сообщении #809746 писал(а):

И что дает факт, что $g(x) \geqslant 0$?

Там ещё одна опечатка -- имелось в виду строгое неравенство. Следует читать так:

Цитата:

Рассмотрим ближайшие к $x_0$ точки $x_l < x_0 < x_r$ такие, что $g(x_l) = g(x_r) = 0$. Они, конечно, найдутся, т.к. $g(a) = g(b) = 0$. Тогда, в силу непрерывности $g(x)$, $g(x) > 0$ на $(x_l, x_r)$.
Но можно проверить, что $g(\frac{x_l + x_r}{2}) = f(\frac{x_l + x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) + f(x_r))$, а по условию задачи последнее выражение должно быть неположительным.

А то, что "можно проверить", следует, например, просто из того, что вообще $g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ равносильно $g(x) = f(x) - f(x_l) - \frac{f(x_r) - f(_r)}{x_r - x_l}(x - x_l) $, раз уж $g(x_l) = g(x_r) = 0$.

[danildushistov]

ewert в сообщении #810664 писал(а):

Там ещё одна опечатка -- имелось в виду строгое неравенство. Следует читать так:

Цитата:

Рассмотрим ближайшие к $x_0$ точки $x_l < x_0 < x_r$ такие, что $g(x_l) = g(x_r) = 0$. Они, конечно, найдутся, т.к. $g(a) = g(b) = 0$. Тогда, в силу непрерывности $g(x)$, $g(x) > 0$ на $(x_l, x_r)$.
Но можно проверить, что $g(\frac{x_l + x_r}{2}) = f(\frac{x_l + x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) + f(x_r))$, а по условию задачи последнее выражение должно быть неположительным.

Хорошо, я понял! Получается, что мы пришли к противоречию, а это значит, что любая хорда лежит не ниже графика функции, а это и означает выпуклость.

Но тогда вопрос, на случай, если преподаватель спросит о виде функции $g(x)$. Мне неясен вид последнего слагаемого. $(f(b) - f(a))$ - это вектор, который представляет собой саму хорду, которая, по предположению, не лежит выше графика. Мы сжимаем его на величину $(b - a)$, а затем растягиваем на $(x - a)$. Почему так?

И еще: почему, все же, $g(x)>0$?

Огромное спасибо за помощь!

[ewert]

danildushistov в сообщении #816308 писал(а):

$(f(b) - f(a))$ - это вектор, который представляет собой саму хорду, которая, по предположению, не лежит выше графика. Мы сжимаем его на величину $(b - a)$, а затем растягиваем на $(x - a)$. Почему так?

Это ни разу не вектор, это просто число, а "сжимаем" -- не более чем лирика (хоть и полезная). На учёном волапюке это называется "линейной интерполяцией"; по-деццки же, по-школьному, мы просто выписываем уравнение прямой, проходящей через две точки. Через те самые две точки на графике исходной функции.

danildushistov в сообщении #816308 писал(а):

И еще: почему, все же, $g(x)>0$?

Потому, что те две точки -- ближайшие к икс-нулевому, в которых всё ещё наблюдается ноль. А значит, между ними функция сохраняет знак -- и, следовательно, положительна (раз уж она положительна хоть где-то посерёдке).

[danildushistov]

Теперь уже можно записать полное решение задачи.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и выполняется следующее неравенство:
$\forall x_1, x_2 \in [a,b] \subset \mathbb{R}^2 / f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leqslant \frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2))$
Доказать, что функция $f(x)$ - выпукла.

Предположим, что функция $f(x)$ не является выпуклой, то есть, если исходить из геометрического смысла выпуклости, существует такая хорда, которая лежит ниже соответствующей дуги графика функции:



Пусть эта хорда проходит через точки $(a, f(a)), (b, f(b))$. Составим уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

$\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-f(a)}{f(b)-f(a)}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x-a}{b-a}(f(b)-f(a))=y-f(a)$ $\Leftrightarrow$ $y=f(a)+\frac{x-a}{b-a}(f(b)-f(a))$ (1)

Теперь рассмотрим новую функцию $g(x)$, составленную как разность $f(x)$ и уравнения прямой, содержащей нашу хорду:

$$ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a). $$

Так как наша хорда (прямая) лежит ниже графика функции $f(x)$, то найдется точка $x_0 \in [a,b]$ такая, что $g(x_0) > 0$. Рассмотрим ближайшие точки $x_l < x_0 < x_r$ такие, что $g(x_l) = g(x_r) = 0$:



Такие точки всегда найдутся, так как $g(a) = g(b) = 0$.

Функция $g(x)$ непрерывна как сумма двух непрерывных функций. Так как точки $x_l$, $x_r$ - ближайшие, в которых функция принимает значение 0, и точка $x_0$ находится между ними и в ней функция положительна, то она положительна во всех точках интервала $(x_l, x_r)$, так как функция сохраняет на этом интервале свой знак в силу непрерывности.

Заметим, что прямая (1) проходит через точки $x_l$, $x_r$, поэтому функцию $g(x)$ в силу единственности задания прямой на плоскости можно переписать в виде:

$$ g(x) = f(x) - f(x_l) - \frac{f(x_r) - f(x_l)}{x_r - x_l}(x - x_l). $$

Исследуем теперь функцию $g(x)$ в точке $\frac{x_l+x_r}{2}$:

$g(\frac{x_l+x_r}{2})=f(\frac{x_l+x_r}{2}) - f(x_l) - \frac{f(x_r) - f(x_l)}{x_r - x_l}(\frac{x_l+x_r}{2} - x_l)$
$g(\frac{x_l+x_r}{2})=f(\frac{x_l+x_r}{2}) - f(x_l) - \frac{f(x_r) - f(x_l)}{x_r - x_l}(\frac{x_r-x_l}{2})$
$g(\frac{x_l+x_r}{2})=f(\frac{x_l+x_r}{2}) - f(x_l) - \frac{1}{2}f(x_r) + \frac{1}{2}f(x_l)$
$g(\frac{x_l+x_r}{2})=f(\frac{x_l+x_r}{2}) - \frac{1}{2}f(x_l) - \frac{1}{2}f(x_r)$
$g(\frac{x_l+x_r}{2})=f(\frac{x_l+x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) +f(x_r))$

Так как $g(x)>0$ на $(x_l, x_r)$, то:

$f(\frac{x_l+x_r}{2}) - \frac{1}{2}(f(x_l) +f(x_r))>0$
$f(\frac{x_l+x_r}{2}) > \frac{1}{2}(f(x_l) +f(x_r))$ - получили противоречие с условием задачи, следовательно, никакая хорда не лежит ниже соответствующей дуги графика функции. А это значит, что функция $f(x)$ - выпукла на $[a,b]$.

Задача решена.

[Dan B-Yallay]

В решение не вглядывался, но к картинке вопрос: почему изображена вогнутая а не выпуклая функция?