Ряд

[Nakamura]

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
$\sum_{n=0}^\infty (e^\frac {cosn}{\sqrt n} -1)$
Вроде бы напрашивается формула Тейлора, однако сравнивать и получать эквивалентности можно только для знакоположительных рядов. Как быть?

[provincialka]

Ну, не обязательно эквивалентности. Можно выделить главную часть и оценить остаток.

[Otta]

Nakamura в сообщении #803580 писал(а):

Вроде бы напрашивается формула Тейлора, однако сравнивать и получать эквивалентности можно только для знакоположительных рядов.

Формула Тейлора и эквивалентности как бы разные вещи. Эквивалентности - не получится, да.

[Nakamura]

Otta, то есть могу ли я написать, что:
$e^\frac{\cos n}{\sqrt n} - 1 = \frac{\cos n}{\sqrt n} +\frac{(\cos n)^2}{2n}+O(\frac{1}{n^\frac{3}{2}})$

[Otta]

Можете, да.
Только могут спросить, откуда нарисовалось $O(n^{-3/2})$.
Первое слагаемое, кстати, исправьте.

[Nakamura]

Исправил, да. Правильным ли будет ответ: "косинус по модулю меньше единицы, а значит ограничен", а остальные функции в разложении - бесконечно малы по сравнению с $\frac{1}{n^\frac{3}{2}}$ ?

[ewert]

Otta в сообщении #803606 писал(а):

Только могут спросить, откуда нарисовалось $O(n^{-3/2})$.
Первое слагаемое, кстати, исправьте.

Не могут спросить (в смысле не имеют права). И исправлять не надо, да.

[Otta]

Правильно будет пользоваться определением О большого.
Но можно вообще никуда не торопиться, написать в скобках то, что там должно быть, а определением Вам придется пользоваться все равно - как Вы иначе оцените, сходится ряд из остаточных членов или нет.

-- 19.12.2013, 23:51 --

ewert в сообщении #803611 писал(а):

Не могут спросить (в смысле не имеют права). И исправлять не надо, да.

Что вдруг не имеют? Это же интересно. :)
А исправлять, может, и не надо. Зависит от того, насколько сознательно это было написано.

[ewert]

Nakamura в сообщении #803610 писал(а):

Правильным ли будет ответ: "косинус по модулю меньше единицы, а значит ограничен", а остальные функции в разложении - бесконечно малы

Нет, неправильным. Там выходють три совершенно разных кадра. Первый -- по Дирихле (ну или типа того). Второй -- требует отдельного рассмотрения, там примерно аналогично. Ну с третьим -- всё ясно.

[Otta]

ewert в сообщении #803616 писал(а):

Нет, неправильным.

ewert, ТС про О большое пытался ответить.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #803612 писал(а):

Зависит от того, насколько сознательно это было написано.

Нет, это зависит от того, насколько на более позднюю версию каждый из нас реагировал.

[Otta]

(Оффтоп)

Не, ну я собссно, про О большое. Иногда такие вещи пишутся безотчетно, а при вскрытии оказывается, что клиент хоть и прав, но понятия не имеет почему.
А первое слагаемое было неправильным, если Вы об этом.