2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:07 
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
$\sum_{n=0}^\infty (e^\frac {cosn}{\sqrt n} -1)$
Вроде бы напрашивается формула Тейлора, однако сравнивать и получать эквивалентности можно только для знакоположительных рядов. Как быть?

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:14 
Аватара пользователя
Ну, не обязательно эквивалентности. Можно выделить главную часть и оценить остаток.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:20 
Nakamura в сообщении #803580 писал(а):
Вроде бы напрашивается формула Тейлора, однако сравнивать и получать эквивалентности можно только для знакоположительных рядов.

Формула Тейлора и эквивалентности как бы разные вещи. Эквивалентности - не получится, да.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:31 
Otta, то есть могу ли я написать, что:
$e^\frac{\cos n}{\sqrt n} - 1 =  \frac{\cos n}{\sqrt n} +\frac{(\cos n)^2}{2n}+O(\frac{1}{n^\frac{3}{2}})$

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:37 
Можете, да.
Только могут спросить, откуда нарисовалось $O(n^{-3/2})$.
Первое слагаемое, кстати, исправьте.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:46 
Исправил, да. Правильным ли будет ответ: "косинус по модулю меньше единицы, а значит ограничен", а остальные функции в разложении - бесконечно малы по сравнению с $\frac{1}{n^\frac{3}{2}}$ ?

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:48 
Otta в сообщении #803606 писал(а):
Только могут спросить, откуда нарисовалось $O(n^{-3/2})$.
Первое слагаемое, кстати, исправьте.

Не могут спросить (в смысле не имеют права). И исправлять не надо, да.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:49 
Правильно будет пользоваться определением О большого.
Но можно вообще никуда не торопиться, написать в скобках то, что там должно быть, а определением Вам придется пользоваться все равно - как Вы иначе оцените, сходится ряд из остаточных членов или нет.

-- 19.12.2013, 23:51 --

ewert в сообщении #803611 писал(а):
Не могут спросить (в смысле не имеют права). И исправлять не надо, да.

Что вдруг не имеют? Это же интересно. :)
А исправлять, может, и не надо. Зависит от того, насколько сознательно это было написано.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:53 
Nakamura в сообщении #803610 писал(а):
Правильным ли будет ответ: "косинус по модулю меньше единицы, а значит ограничен", а остальные функции в разложении - бесконечно малы

Нет, неправильным. Там выходють три совершенно разных кадра. Первый -- по Дирихле (ну или типа того). Второй -- требует отдельного рассмотрения, там примерно аналогично. Ну с третьим -- всё ясно.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:54 
ewert в сообщении #803616 писал(а):
Нет, неправильным.

ewert, ТС про О большое пытался ответить.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 21:56 

(Оффтоп)

Otta в сообщении #803612 писал(а):
Зависит от того, насколько сознательно это было написано.

Нет, это зависит от того, насколько на более позднюю версию каждый из нас реагировал.

 
 
 
 Re: Ряд
Сообщение19.12.2013, 22:01 

(Оффтоп)

Не, ну я собссно, про О большое. Иногда такие вещи пишутся безотчетно, а при вскрытии оказывается, что клиент хоть и прав, но понятия не имеет почему.
А первое слагаемое было неправильным, если Вы об этом.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group