Помогите разобраться с нелинейным сравнением по модулю

[helgui]

Задача:
Решить сравнение $x^7 \equiv 10 \pmod {49}$

Я недавно занялся модулярной арифметикой, столкнулся с такой задачкой. Я знаю, что это сравнение не имеет решений. Мое доказательство использует дискретное логарифмирование (т. к. модуль - квадрат простого, существует первообразный корень, следовательно задачу можно записать в виде $(g^y)^7 \equiv 10 \pmod {49}$, что равносильно $ (g^7)^y \equiv 10 \pmod {49}$. Теперь можно решать сравнение относительно $y$, а $x \equiv g^y \pmod{49}$).
Вопрос в существовании более простого решения с использованием того, что модуль 49, а показатель 7. В частности, решения с применением малой теоремы Ферма.

[VAL]

helgui в сообщении #803317 писал(а):

Задача:
Решить сравнение $x^7 \equiv 10 \pmod {49}$
Вопрос в существовании более простого решения с использованием того, что модуль 49, а показатель 7. В частности, решения с применением малой теоремы Ферма.

Тогда уж теоремы Эйлера.
На ее основании достаточно проверить, что $10^6$ не сравнимо с $1$ по модулю $49$.

[nnosipov]

Можно также воспользоваться стандартной техникой, основанной на лемме Гензеля о подъёме (как решить сравнение $f(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$, зная все решения сравнения $f(x) \pmod{p}$). Если $x^7 \equiv 10 \pmod{7^2}$, то $x \equiv 10 \pmod{7}$, т.е. $x=3+7y$. Но тогда $x^7=(3+7y)^7 \equiv 3^7 \pmod{7^2}$. Осталось вычислить $3^7 \bmod{7^2}$ и убедиться, что результат отличен от $10 \bmod{7^2}$.

[helgui]

VAL в сообщении #803368 писал(а):

helgui в сообщении #803317 писал(а):

Задача:
Решить сравнение $x^7 \equiv 10 \pmod {49}$
Вопрос в существовании более простого решения с использованием того, что модуль 49, а показатель 7. В частности, решения с применением малой теоремы Ферма.

Тогда уж теоремы Эйлера.
На ее основании достаточно проверить, что $10^6$ не сравнимо с $1$ по модулю $49$.

Блин, все действительно просто. Спасибо всем, кто отозвался.